Visa att 8523 är delbart med 3 om siffersumman 8 + 5 + 2 + 3 är delbar med 3

Tänk kongruenslagarna! Du vill visa att

$8523\equiv0\ \pmod{3}$

med hjälp av siffersumman. Börja med att tänka hur du kan uttrycka talet $8523$ med hjälp av dess siffror.

Jag kan bryta ner 8523 enligt följande:

$8523 = 8 · 1000 + 5 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1$

Just det. Kika nu på tiopotenserna. Kan du förenkla dem med någon kongruenslag?

$8523 = 8 · {10}^{3 } + 5 · {10}^2 + 2 · {10}^1 + 3 · {10}^0$ Menar du så?

Sen kan man använda sig av den tredje kongurenslagen, den som lyder såhär: $a^{m } (mod n) = (a (mod n){)}^m$

Men jag vet inte riktigt hur jag ska använda mig av den för man kan också använda sig av den andra kongurenslagen som handlar om multiplikation. Blir det då såhär?

$8523 = 8 · {10}^3 (mod 3) + 5 · {10}^2 (mod 3) + 2 · {10}^{1 }(mod 3) + 3 · {10}^{0 } (mod 3)$

Ditt första förslag låter utmärkt. Vad blir $10\ \pmod{3}$?

Vad blir då kongruensen av $8523=8\cdot10^3+5\cdot10^2+2\cdot10^1+3\cdot10^0$?

$$\begin{gathered} 10 (mod 3) = 1 \\ {10}^{3 }\hspace{0.17em}(mod 3) \equiv (10 (mod 3){)}^3 = 1^3 (mod 3) = 1 \end{gathered}$$

Då borde det vara samma sak för de övriga två. Blir det sen såhär: 

$8523 (mod 3) \equiv 8 · 1 + 5 · 1 + 2 · 1 + 3 ·1 (mod 3) \equiv 18 (mod 3) = 0 (mod 3)$? 

Ja, just det! Eftersom $10^n\equiv1\ \pmod{3}$ försvinner alla tiopotenserna och kvar får vi siffersumman:

$8\cdot10^3+5\cdot10^2+2\cdot10^1+3\cdot10^0\equiv8+5+2+3\ \pmod{3}$

Man kan alltså konstatera att kongruensen för siffersumman modulo tre är samma som för hela talet. Det ger sedan att om siffersumman är delbar med tre (kongruensen noll) måste talet också vara det.

Är det så för alla tal? Dvs att kongruensen för siffersumman modulo n är samma som för hela talet, om siffersumman är delbar med n (kongruensen noll) måste talet också vara det. 

Eller råkar det bara vara det i denna uppgift? 

Pröva! Byt ut $n=3$ mot exempelvis $n=4$. Får du samma resultat?

AlvinB skrev:

Pröva! Byt ut $n=3$ mot exempelvis $n=4$. Får du samma resultat?

 8523 är inte delbart med 4 så det borde inte gå. 

detrr skrev:

AlvinB skrev:

Pröva! Byt ut $n=3$ mot exempelvis $n=4$. Får du samma resultat?

 8523 är inte delbart med 4 så det borde inte gå. 

 Just det - det gäller inte för fyra.

Det centrala ligger i att $10\equiv1\ \pmod{3}$ vilket enbart gäller för $9$ och $3$. Det är därför som "delbarhetsregeln" för delbarhet med tre är att testa siffersumman medans man har andra regler för $2,4,5,...$.

Okej, då förstår jag. Tack för hjälpen! :)

Alternativ lösning:

8*(999+1)+5*(99+1)+2*(9+1)+3

Vadsomhelst gånger 999 eller 99 eller 9 är delbart med 3. Kvar att undersöka är 8+5+2+3.