Visa att en fyrhörning med givna sidlängder alltid kan inskrivas i en cirkel.

Utnyttja att mittpunktsnormalerna till sidorna skär varandra i en punkt

Nu var jag för snabb och tryckte på fel knapp.

1. Trivialt motexempel: Om sidorna är t ex 1, 1, 1, 4 kan man inte göra en fyrhörning alls - men då uppfylls ju inte kravet att det skall vara en fyrhörning.
2. Om alla sidorna är lika långa kan vi bilda en kvadrat. En kvadrat kan alltid inskrivas i en cirkel (med centrum där diagonalerna möts).
3. Om sidorna är parvis lika långa kan vi bilda en rektangel. En rektangel kan alltid inskrivas i en cirkel (med centrum där diagonalerna möts).
4. Övriga fall: Sätt ihop två sidor till en längre, så att det bildas en triangel. En triangel kan alltid inskrivas i en cirkel. Ta tag i föreningspunkten mellan de båda hopsatta sidorna och flytta den utåt, bort från cirkelns centrum. De tre ursprungliga hörnen ligger fortfarande på en cirkel, men cirkeln krymper. Till slut ligger det fjärde hörnet på cirkelns periferi, och vi har bevisat att det går.

1. Det måste vara en äkta fyrhörning. Dvs summan längderna av 3 sidor måste vara större eller lika med längden av den fjärde.

4. Fiffigt!

Utsagan att "en fyrhörning med givna sidlängder alltid kan inskrivas i en cirkel" bekymrar mig. En fyrhörning har som bekant fyra hörn, säg A. B, C och D. Alla fyra måste ligga på samma cirkelbåge. Men cirkelbågen är entydigt bestämd redan av A, B och C. D är fri att ligga någon annanstans än på denna cirkelbåge.

Jag har tolkat det som att "Man kan alltid välja ordningen mellan de fyra sidorna i en fyrhörning på så sätt att den bildade fyrhörningen kan inskrivas i en cirkel". Om man lägger A, B och C på cirkelbågen så behöver man justera cirkelns storlek för att sidorna CD och DA skall vara lagom långa.

Uppgiften går ut på att visa att det går att välja vinklarna så att alla hörnen hamnar på en cirkel. En triangel med givna sidor är ju fast men en fyrhörning går ju att greja med. Och grejar man med den kommer cirkeln som går igenom tre av punkterna att ändras. Man ska inte ändra ordning på sidorna. Bara ändra vinklarna.

Kolla här: https://www.geogebra.org/classic/rqfwzbsv

Det går att dra i vissa av punkterna.

Uppgiften borde ha hetat:

Visa att en fyrhörning med givna sidlängder i given ordning alltid kan inskrivas i en cirkel.

Observera att det finns ett bevis här: https://www.pluggakuten.se/trad/kan-en-konvex-fyrhorning-med-givna-sidlangder-alltid-inskrivas-i-en-cirkel/