Visa att en operation ej är kommutativ, associativ eller distributiv över addition

Vad är

b*a

?

Om det inte alltid är samma sak som a*b är inte operationen kommutativ.

Heltal eller inte är inte relevant här.

Det håller jag med om.

Men ska jag prova att sätta in tal i stället för a och b för att förstå bättre?

Jag tycker det är svårt att (abstrakt) tänka mig hur operationen fungerar utan att sätta in värden på a och b. Men jag skulle vilja ha hjälp att förstå utan att göra detta.

Om jag låter $a=4 och b=2 så får jag 4·2=4+2·2$

vilket ju fungerar fint då det blir samma resultat i båda leden (8).

Om jag byter plats på a och b i VL så blir det detsamma, 8.

Men om jag byter plats på a och b i HL så blir resultatet inte 8 utan 10.

2 + 2$·$4=10

Betyder detta att operationen ej är kommutativ? Jag blir osäker på detta resonemang...

Det är lite dumt att de inte har hittat på en konstig symbol för operationen. Om vi kallar den t ex för & istället så vet vi att a&b = a+2b. Om vi byter plats på bokstäverna blir det istället b&a = b+2a. Detta innebär att a&b inte är lika mycket som b&a. Alltså är inte operationen & kommutativ.

Lisa Mårtensson skrev :

Det håller jag med om.

Men ska jag prova att sätta in tal i stället för a och b för att förstå bättre?

Om du tycker att det underlättar så kan du göra det. 

Jag tycker det är svårt att (abstrakt) tänka mig hur operationen fungerar utan att sätta in värden på a och b. Men jag skulle vilja ha hjälp att förstå utan att göra detta.

Om jag låter $a=4 och b=2 så får jag 4·2=4+2·2$

vilket ju fungerar fint då det blir samma resultat i båda leden (8).

Nej när du skriver att resultatet blir 8 i båda leden så tror jag att du missuppfattar operatorn "prick", d.v.s. den som står mellan $a$ och $b$ i definitionen av $a\cdot b$. Denna operator är inte samma sak som multiplikation. Så du kan inte säga att det som står i vänsterledet är lika med 8.

Jag tror att det blir tydligare om vi väljer en annan symbol för operatorn, t.ex. $⊛$.

Då har vi definitionen $a⊛b=a+2b$.

Om du då väljer $a=4$ och $b=2$ så får du att $a⊛b=\mathbf{4}⊛\mathbf{2}=\mathbf{4}+2·\mathbf{2}=4+4=8$.

Nu ska vi se vilket resultat $b⊛a$ ger:

$b⊛a=\mathbf{2}⊛\mathbf{4}=\mathbf{2}+2·\mathbf{4}=2+8=10$

Vi ser alltså att i detta fallet så ger $a⊛b$ och $b⊛a$ olika resultat.

Det betyder att operatorn inte är kommutativ.

Om jag byter plats på a och b i VL så blir det detsamma, 8.

Det här stämmer alltså inte.

Men om jag byter plats på a och b i HL så blir resultatet inte 8 utan 10.

2 + 2$·$4=10

Det här stämmer dock, enligt ovan.

Betyder detta att operationen ej är kommutativ? Jag blir osäker på detta resonemang...

Se ovan.

--------------------------------------------

Om du vill visa detta utan att räkna med siffror kan du göra på följande sätt:

Om $a⊛b=b⊛a$ så är operatorn $⊛$ kommutativ.

Eftersom $a⊛b=a+2b$ och $b⊛a=b+2a$ så måste det alltså alltid gälla att $a+2b=b+2a$ för att operatorn ska vara kommutativ. Vi undersöker om så är fallet:

$a+2b=b+2a$

Subtrahera a och b från ekvationen:

$a+2b-a=b+2a-b$

Förenkla:

$2b=2a$

Dividera med 2:

$b=a$

Detta gäller alltså endast om a = b. För alla andra tal så gäller det inte.

Alltså är operatorn inte kommutativ.

Tack så mycket för detta. När jag helt och hållet tagit in allt så ska jag fortsätta att fråga er om associativitet också.

Yngve, jag undrar hur det kommer sig att man ska subtrahera a och b från ekvationen

a + 2b = b + 2a ?

Lisa Mårtensson skrev :

Yngve, jag undrar hur det kommer sig att man ska subtrahera a och b från ekvationen

a + 2b = b + 2a ?

Jag gjorde det för att samla alla a-termer på ena sidan och alla b-termer på andra sidan av likhetstecknet.

Det är vanlig ekvationslösning med balansmetoden:

a + 2b = b + 2a

Subtrahera a från båda sidor:

a + 2b - a = b + 2a - a

Förenkla:

2b = b + a

Subtrahera b från båda sidor:

2b - b = b + a - b

Förenkla:

b = a

Ja, då förstår jag bättre. Jag ville också ha det så: subtrahera a från båda sidor om likhetstecknet och sedan subtrahera b från båda sidor.

Jag är helt och fullt med på resonemanget om operationens kommutativitet och att den ej är kommutativ eftersom man ej kan byta plats på a och be och få samma resultat.

Om vi då kikar på om operationen a & b = a + 2b är associativ.

Associativiet innebär att (a * b)c = a(b * c)

Nu har vi ju även fått en faktor c, vilket för mig gör det mer komplicerat.

Hur ska jag börja?

Beräkna både VL och HL, och undersök om de är lika.

VL:

$(a \star b) \star c = (a+2b) \star c = (a+2b) + 2c = a +2b + 2c$

Vad är HL?

Varför blev det +2c?

Jag menar hur fick du 

$(a + 2b)·c = (a + 2b) +2c$ ?

När jag ska beräkna HL får jag (felaktigt):

$a · (b ·c) =a · (2b + 2c)$ $a + (2b + 2c) =a + 2b + 2c$

Men jag förstår fortfarande inte detta med 2c och att multiplikation kan "översättas" till addition. Där behöver jag mer förklaring.

Jag vet att jag måste ha gjort något misstag i ovanstående eftersom operationen a & b = a + 2b ej ska vara associativ. Det står i uppgiften att jag ska visa att den inte är associativ. Som jag gjort nu så blir ju både HL samma som VL.

Se det som en funktion istället, om det underlättar.

$f(a,b) = a + 2b$

Den binära operationen, liksom funktionen, tar ju två tal och spottar ut ett nytt.
Parentesen i $(a \star b) \star c$ berättar vilka två tal som ska kombineras ihop först.

Den är associativ om:
$f(f(a,b),c) = f(a, f(b,c))$,

där $f(f(a,b),c)$ betyder "sätt ihop a och b först enligt receptet, och sätt sedan ihop resultatet med c"

där $f(a, f(b,c))$ betyder "sätt ihop b och c först enligt receptet, och sätt sedan ihop resultatet med a"

$x = f(a,b) = a+2b$

VL: $f(x, c) = x + 2c = a+2b + 2c$

y = $f(b,c) = b+2c$

HL: $f(a, y) = a + 2y = a + 2(b+2c) = a+2b+4c$

Nu har jag, efter att ha läst igenom det du skrivit flera gånger, äntligen förstått hur man kan visa att operationen ej är associativ. TACK!

$a+2b+2c\ne a+2b+4c$

så operationen är inte associativ, enligt ovan.

Så nu till det sista testet:

Det ska bevisas att operationen a&b = a+2b ej är distributiv över addition.

Distributivitet över addition innebär: $a(b+c)=a·b+a·c$

Underlättar det även i detta fall att se det som en funktion?

f(a,b) = a + 2b

Hur ska jag börja?

$a \star (b+c) = f(a, b+c)$

Och 

$a \star b + a \star c = f(a, b) +f(a, c)$

Ok!

Där har vi alltså VL och HL.

Operationen är distributiv över addition om 

f(a,b + c) = f(a,b) + f(a,c)

Om jag börjar med VL så antar jag att f(a,b + c) betyder ”sätta ihop a och b enligt receptet (dvs a+2b) och sedan addera c. Men då borde det kanske ha sett ut så här: f(a,b) + c ?

Blir VL a + 2b + c ?

$f(a, b+c)$ betyder "sätt ihop a med (b+c) enligt receptet".

$x = b+c$, och $f(a,b+c) = f(a,x) = a+2x = a+2(b+c) = a+2b+2c$

------------

$f(a,b) + f(a,c) = a+ 2b + a + 2c = 2a +2b +2c$

Åh, jag förstår faktiskt!

Det är det som står på vardera sida om kommatecknet i funktionens parentes som ska "sättas ihop enligt receptet". b + c kallas x för att det blir enklare och tydligare att även "sätta ihop a med x enligt receptet" genom att utgå från f(a,x)

Att "receptet" är a + 2b hade jag förstått tidigare, men inte riktigt "att sätta ihop". 

$a + 2b + 2c \ne 2a + 2b + 2c$  vilket visar att operationen inte är distributiv över addition.

Tack så himla mycket för all hjälp med denna uppgift. Har lärt mig mycket.

Yngve skrev:

--------------------------------------------

Om du vill visa detta utan att räkna med siffror kan du göra på följande sätt:

Om $a⊛b=b⊛a$ så är operatorn $⊛$ kommutativ.

Eftersom $a⊛b=a+2b$ och $b⊛a=b+2a$ 

Hej, nu är tråden fyra år gammal men jag hoppas på ett svar ändå.

Jag är intresserad av vad för regler det är som gäller, för det verkar som att jag då kan skriva/tänka att ⊛= (+2×) ? Vilket löser samtliga frågor i tråden i så fall. Har det att göra med formeringsregler?  

Det som gör mig förvirrad är att jag också kan skriva a⊛b = a +2b = a + b +b vilket enligt räknereglerna är korrekt vad jag vet. Om man då använder den senare formuleringen, dvs a⊛b = a + b +b, så måste det med samma resonemang som innan bli att ⊛ =(+b+), men då blir operatorn kommutativ eftersom att b⊛a = b + b + a = 2b + a = a⊛b.

Tacksam för alla svar, dela gärna information från andra håll om frågan är för invecklad (eller fråga gärna om jag var otydlig).

Mvh Joakim