10 svar
131 visningar
MrPotatohead 6398 – Moderator
Postad: 1 nov 11:35 Redigerad: 1 nov 16:08

Visa att en punkt är en maxpunkt men utan att dess omgivning är varken växande eller avtagande.

Uppgift c) och d) har jag lite strul med att komma på ett bra sätt att visa. 

c) tänker jag man kan visa att derivatagränsvärdet existerar för alla R och sen visar man att gränsvärdet blir olika när man närmar sig 0 från höger eller vänster. 

d) har jag typ ingen aning. Anar något lätt epsilon-delta-resonemang men usch vad jag inte är flytande i det språket än. 

Antar att man behöver få med att sinus oscillerar mellan 1 och -1 så inget delta kan hittas för varje epsilon... 

naytte Online 5086 – Moderator
Postad: 1 nov 13:29 Redigerad: 1 nov 13:49

Det är ju en känd sats att extrempunkter i en inre punkt för kontinuerliga funktioner (vilket f är pga deriverbarhet) alltid ligger där derivatan är noll. Om du deriverar f får du ju två derivator, en som är konstant noll i x=0.

Så får du ju fram att det är en extrempunkt där i alla fall.

Man borde kunna visa att limsup f’(x) och liminf f’(x) blir olika då x->0. Alltså att alla närheter av noll kommer ha både punkter där derivatan är negativ och där derivatan är positiv. Då saknas ju intervall nära 0 där den är antingen eller.

MrPotatohead 6398 – Moderator
Postad: 1 nov 13:55 Redigerad: 1 nov 13:55
naytte skrev:

Det är ju en känd sats att extrempunkter i en inre punkt för kontinuerliga funktioner (vilket f är pga deriverbarhet) alltid ligger där derivatan är noll. Om du deriverar f får du ju två derivator, en som är konstant noll i x=0.

Så får du ju fram att det är en extrempunkt där i alla fall.

Ja här är jag med:)

Man borde kunna visa att limsup f’(x) och liminf f’(x) blir olika då x->0. Alltså att alla närheter av noll kommer ha både punkter där derivatan är negativ och där derivatan är positiv. Då saknas ju intervall nära 0 där den är antingen eller.

Att använda sup och inf kan jag inte så du gärna visa hur du tänker. Ett enkelt sätt att det blir just max är att sin(1/x) antingen kommer ligga i [-1,1], parentesen blir således minst -4 och max -2 dvs alltid <0. Samma gäller för hela f eftersom x^2 alltid är positivt. 

Gustor 350
Postad: 1 nov 14:07 Redigerad: 1 nov 14:10

För c) så kan man konstatera att funktionen är en komposition av deriverbara funktioner och därför deriverbar för alla x != 0. Det som behöver visas är

1) att f'(0) existerar, alltså att f(h)/h existerar då h går mot 0, och

2) att f'(x) inte är kontinuerlig i 0. En av termerna i f'(x) går mot 0 då x går mot 0, och en oscillerar mellan -1 och 1 allt snabbare och snabbare.

Man kan exempelvis hitta en följd x_n sådan att 1/x_n går mot 0 och cos(1/x_n) = 1 för alla tal i följden. Ser du hur man kan använda det för att konstatera att f'(x) inte är kontinuerlig?

På d), visa att f(x) < 0 för alla x != 0, och att det i varje intervall (-ε, 0) och (0, ε) finns x sådana att f'(x) < 0 respektive f(x) > 0.

När x är nära 0 så oscillerar en av termerna i derivatan mellan -1 och 1 medan den andra närmar sig 0.

Om vi väljer x = 1/(2πn) för något stort negativt heltal n sådant att x ligger i  (-ε, 0), så får vi att cos(1/x)=1. Vad blir då f'(x)? Kan vi välja x sådant att f'(x) < 0?

Gör på liknande sätt för (0, ε).

naytte Online 5086 – Moderator
Postad: 1 nov 14:12 Redigerad: 1 nov 14:36

Jag tänker att vi har att f'0=0\displaystyle f'\left(0\right) = 0 och sedan om vi tittar på den delen f'x=-cos(1/x)+2x(-3+sin(1/x))f'\left(x\right) = -\cos(1/x) + 2 x (-3 + \sin(1/x)) så har vi att då x0x\to 0 kommer 2x(-3+sin(1/x))02 x (-3 + \sin(1/x)) \to 0 medan -cos(1/x)-\cos(1/x) kommer oscillera mellan -1 och 1. Så då x0x\to 0 kommer hela funktionen oscillera mellan -1 och 1. Så vi har då att:

liminfx0f'x=-1\liminf_{x\to 0}f'\left(x\right)=-1

men

limsupx0f'x=1\limsup_{x\to 0}f'\left(x\right)=1

Detta betyder att derivatan i varje öppen närhet av 00 har punkter där derivatan är positiv och punkter där derivatan är negativ. Således kan funktionen vara varken avtagande eller växande i någon sådan närhet.


Tillägg: 1 nov 2024 14:18

liminf och limsup är lite annorlunda objekt än inf och sup. T.ex. definierar man liminf som:

liminfxξfx:=supa>0inffξ-a,ξ+a{ξ}\displaystyle \liminf_{x\to \xi} f\left(x\right):=\sup_{a>0}\inf f\left(\left(\xi-a,\xi+a\right)\setminus\{ \xi \}\right)

där ξ\xi är en inre punkt i definitionsmängden II\subseteq \mathbb{R} med ξ-a,ξ+aI\left(\xi-a,\xi+a\right) \subseteq I

Men den rigorösa definitionen är inte så viktig. Det är ju resonemanget som spelar roll. Insikten är att cosinus går crazy och oscillerar. Om du tycker det här verkar jobbigt (vilket jag också gör) borde du köra på Gustors förslag. Även om det inte borde vara så svårt att göra så här heller.

Gustor skrev:

För c) så kan man konstatera att funktionen är en komposition av deriverbara funktioner och därför deriverbar för alla x != 0. Det som behöver visas är

1) att f'(0) existerar, alltså att f(h)/h existerar då h går mot 0, och

2) att f'(x) inte är kontinuerlig i 0. En av termerna i f'(x) går mot 0 då x går mot 0, och en oscillerar mellan -1 och 1 allt snabbare och snabbare.

Man kan exempelvis hitta en följd x_n sådan att 1/x_n går mot 0 och cos(1/x_n) = 1 för alla tal i följden. Ser du hur man kan använda det för att konstatera att f'(x) inte är kontinuerlig?

Ja, eller man har när x går mot 0 så får man termer som går mot olika saker och sammantaget går det inte mot 0 som krävs för kontinuitet i 0, eller?

På d), visa att f(x) < 0 för alla x != 0, och att det i varje intervall (-ε, 0) och (0, ε) finns x sådana att f'(x) < 0 respektive f(x) > 0.

När x är nära 0 så oscillerar en av termerna i derivatan mellan -1 och 1 medan den andra närmar sig 0.

Om vi väljer x = 1/(2πn) för något stort negativt heltal n sådant att x ligger i  (-ε, 0), så får vi att cos(1/x)=1. Vad blir då f'(x)? Kan vi välja x sådant att f'(x) < 0?

Gör på liknande sätt för (0, ε).

Ska försöka på d) snart. 

Gustor 350
Postad: 1 nov 14:58

Ja, eller man har när x går mot 0 så får man termer som går mot olika saker och sammantaget går det inte mot 0 som krävs för kontinuitet i 0, eller?

Ja, eftersom en av termerna går mot 0 och den andra oscillerar, så oscillerar hela uttrycket. Så lite informellt kan man säga att f'(x) inte går mot f'(0)=0 då x går mot 0.

Vill man visa det matematiskt kan man göra som jag beskrev.

naytte Online 5086 – Moderator
Postad: 1 nov 16:39 Redigerad: 2 nov 13:48

Bara för att visa att man kan använda definitionen ovan:

Låt gg definieras av gx=-cos1x g\left(x\right) = -\cos\frac{1}{x}. Det följer att g:{0}g: \mathbb{R}\setminus \{0\} \to \mathbb{R}.

Vi har två definitioner:

liminfxξgx:=supa>0infgξ-a,ξ+a{ξ}  1\displaystyle \liminf_{x\to \xi} g\left(x\right):=\sup_{a>0}\inf g\left(\left(\xi-a,\xi+a\right)\setminus\{ \xi \}\right)\;\; \left(1\right)

limsupxξgx:=infa>0supgξ-a,ξ+a{ξ}  2\displaystyle \limsup_{x\to \xi} g\left(x\right):=\inf_{a>0}\sup g\left(\left(\xi-a,\xi+a\right)\setminus\{ \xi \}\right)\;\; \left(2\right)

där ξ-a,ξ+a{0}\displaystyle \left(\xi-a, \xi+a\right)\subseteq \mathbb{R}\setminus \{0\} och där gξ-a,ξ+ag\left(\left(\xi-a, \xi+a\right)\right) är bildmängden av intervallet.

Analogt till ensidiga gränsvärden finns det även ensidiga limsup och liminf, exempelvis:

liminfx0+gx=supa>0inf{-cos1x:x0,a}\displaystyle \liminf_{x\to 0^+}g\left(x\right)=\sup_{a>0}\inf\{ -\cos\frac{1}{x}:x\in\left(0,a\right)\}

Det är självklart att om över alla a > 0 så kommer supremet vara -1 (förstår du varför?). Om vi gör samma sak men för limsup:

limsupx0+gx=infa>0sup{-cos1x:x0,a}\displaystyle \limsup_{x\to 0^+}g\left(x\right)=\inf_{a>0}\sup\{ -\cos\frac{1}{x}:x\in\left(0,a\right)\}

Här har vi att supremet över alla a>0 blir 1. Så sammantaget har vi:

liminfx0+gx=-1\displaystyle \liminf_{x\to 0^+} g\left(x\right) = -1

limsupx0+gx=1\displaystyle \limsup_{x\to 0^+} g\left(x\right) = 1

Detta betyder att oavsett vilket intervall (0,a)(0,a) runt x=ξx=\xi som väljs, så kommer det finnas punkter där gx>0g\left(x\right) > 0 och punkter där gx<0g\left(x\right) < 0. Detta betyder att funktionen där varken kan vara avtagande eller växande. Man kan upprepa samma resonemang från vänster och erhåller då samma resultat.

\blacksquare

Jag förstår inte din dubbelnotation inf sup och tvärtom. 

naytte Online 5086 – Moderator
Postad: 1 nov 21:46 Redigerad: 1 nov 22:00

supa>0infAa\sup_{a>0}\inf A_a är bara ett sätt att säga "Supremet av infimumen av mängderna Aa​ , där a varierar över alla positiva tal". 

Det är alltså supremet av infimumen, inte någon sammansättning "supinf".

Okej, gracias.

Svara
Close