18 svar
2154 visningar
Anna1 behöver inte mer hjälp
Anna1 46
Postad: 28 dec 2018 21:57

Visa att n! + (n-1)! = (n^2-1)(n-2)!

Hej! Jag skulle behöva hjälp med bevisa den här likheten.

Så här har jag tänkt:

vl = n! + (n-1)! = n! + (n-1) x (n-2)!

jag har försökt utveckla vänster-led så här men kommer inte längre än så.

jag förstår inte hur jag ska få till (n^2-1) termen?

 

Tack på förhand! :)

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 28 dec 2018 22:00

Börja med högerledet istället. Använd konjugatregeln på den första faktorn. Fråga igen om du behöver mer hjälp.

Anna1 46
Postad: 28 dec 2018 22:23

Tack för det snabba svaret!

 

Då blir högerledet så här:

 

Hl = (n+1)(n-1)(n-2)!

 

men jag kommer inte vidare, jag förstår inte hur jag ska fortsätta.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 28 dec 2018 22:32

Hur kan du skriva (n-1)(n-2)! på ett enklare sätt?

Anna1 46
Postad: 28 dec 2018 22:43

Jag vet inte riktigt, kanske att jag fortsätter att utveckla (n-2)! men då blir uttrycket inte förenklat..

 

(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)!  men detta verkar bara onödigt, förstår inte riktigt hur jag ska förenkla (n-1)(n-2)!  :/

Laguna 30340
Postad: 28 dec 2018 22:55

Jag provar från andra hållet: hur blir det om man skriver ut några faktorer i n!  ?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 28 dec 2018 23:01

Hur kan man skriva 3·2!3\cdot2! på ett enklare sätt? Hur kan man skriva 4·3!4\cdot3! på ett enklare sätt? Hur kan man skriva 5·4!5\cdot4! på ett enklare sätt? Detta är menat som en ledtråd för att du skall kunna skriva (n-1)(n-2)! på ett enklare sätt.

Anna1 46
Postad: 28 dec 2018 23:22

 

3 ⋅ 2!  borde kunna skrivas om som 3!

så då borde jag kunna skriva om (n-1)(n-2)! som (n-1)! 

Då blir högerledet  :  (n+1)(n-1)!  om jag har tänkt rätt..

Då har jag fått till (n-1)!- termen, men då är frågan hur jag ska få fram n!  ?

Yngve 40221 – Livehjälpare
Postad: 28 dec 2018 23:30 Redigerad: 28 dec 2018 23:32

Alternativ lösning: Jag skulle istället utgå från VL och faktorisera det.

Eftersom n! = n*(n-1)! så är n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

Eftersom (n-1)! = (n-1)*(n-2)! så är (n+1)*(n-1)! = (n+1)*(n-1)*(n-2)!

Kan du fortsätta själv därifrån?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 28 dec 2018 23:39

Vad händer om du multiplicerar dels nn och dels  11 (som du har i den första parentesen) med (n-1)!?

Anna1 46
Postad: 28 dec 2018 23:47

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

Yngve 40221 – Livehjälpare
Postad: 28 dec 2018 23:52
Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

Ja (men du råkade skriva (n^2-1) * (n-1)! istället för (n^2-1) * (n-2)!).

Pröva gärna att lösa uppgiften enligt de andra tipsen du fått, nämligen att utgå från HL.

Anna1 46
Postad: 28 dec 2018 23:54

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 28 dec 2018 23:56 Redigerad: 29 dec 2018 00:01
Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

 Men nu har du väl börjat med högerledet, manipulerat det, manipulerat det lite till och visat att HL = HL. Det har du inte mycket glädje av.

HL=(n2-1)(n-2)HL=(n^2-1)(n-2) använd konjugatregeln baklänges på första parentesen

=(n+1)(n-1)(n-2)!=(n+1)(n-1)(n-2)! multiplicera fakulteten med (n-1)

=(n+1)(n-1)!=n·(n-1)!+1·(n-1)!=(n+1)(n-1)!=n\cdot(n-1)!+1\cdot(n-1)! multiplicera fakulteterna med de båda termerna i parentesen

=n!+(n-1)!=VL=n!+(n-1)!=VL

Yngve 40221 – Livehjälpare
Postad: 29 dec 2018 00:01
Anna1 skrev:

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Det är för att (n-1)! är en gemensam faktor i de båda termerna som alltså kan brytas ut.

Om du har svårt att se det kan du förenkla genom att kalla (n-1)! för A

Då kan uttrycket n*(n-1)! + (n-1)! skrivas n*A + A och du ser då lätt att A är en gemensam faktor som du kan bryta ut: n*A + A = (n+1)*A

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 29 dec 2018 00:07

Hej!

Från vänster till höger. Det gäller att n!=(n-1)!·nn! = (n-1)! \cdot n vilket ger summan

    n!+(n-1)!=(n-1)!·n+(n-1)!=(n-1)!·(n+1).n! + (n-1)! = (n-1)! \cdot n + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1).

Det gäller att (n-1)!=(n-2)!·(n-1)(n-1)! = (n-2)! \cdot (n-1) vilket ger produkten

    (n-1)!·(n+1)=(n-2)!·(n-1)(n+1).(n-1)! \cdot (n+1) = (n-2)! \cdot (n-1)(n+1).

Konjugatregeln ger nu uttrycket som står i högerledet.

Från höger till vänster. Det gäller att n2-1=(n+1)(n-1)n^2-1 = (n+1)(n-1) vilket ger produkten

    (n2-1)·(n-2)!=(n+1)·(n-1)·(n-2)!(n^2-1)\cdot (n-2)! = (n+1)\cdot (n-1) \cdot (n-2)!.

Det gäller att (n-1)·(n-2)!=(n-1)!(n-1)\cdot (n-2)! = (n-1)! vilket ger produkten

    (n+1)·(n-1)!=n·(n-1)!+(n-1)!(n+1)\cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)!.

Vänsterledet följer från att det gäller att n·(n-1)!=n!n \cdot (n-1)! = n!.

Anna1 46
Postad: 29 dec 2018 00:07
Yngve skrev:
Anna1 skrev:

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Det är för att (n-1)! är en gemensam faktor i de båda termerna som alltså kan brytas ut.

Om du har svårt att se det kan du förenkla genom att kalla (n-1)! för A

Då kan uttrycket n*(n-1)! + (n-1)! skrivas n*A + A och du ser då lätt att A är en gemensam faktor som du kan bryta ut: n*A + A = (n+1)*A

  

Ja, såklart!  Tack! 

Anna1 46
Postad: 29 dec 2018 00:09
Smaragdalena skrev:
Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

 Men nu har du väl börjat med högerledet, manipulerat det, manipulerat det lite till och visat att HL = HL. Det har du inte mycket glädje av.

HL=(n2-1)(n-2)HL=(n^2-1)(n-2) använd konjugatregeln baklänges på första parentesen

=(n+1)(n-1)(n-2)!=(n+1)(n-1)(n-2)! multiplicera fakulteten med (n-1)

=(n+1)(n-1)!=n·(n-1)!+1·(n-1)!=(n+1)(n-1)!=n\cdot(n-1)!+1\cdot(n-1)! multiplicera fakulteterna med de båda termerna i parentesen

=n!+(n-1)!=VL=n!+(n-1)!=VL

  Tack så mycket !

Anna1 46
Postad: 29 dec 2018 00:15
Albiki skrev:

Hej!

Från vänster till höger. Det gäller att n!=(n-1)!·nn! = (n-1)! \cdot n vilket ger summan

    n!+(n-1)!=(n-1)!·n+(n-1)!=(n-1)!·(n+1).n! + (n-1)! = (n-1)! \cdot n + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1).

Det gäller att (n-1)!=(n-2)!·(n-1)(n-1)! = (n-2)! \cdot (n-1) vilket ger produkten

    (n-1)!·(n+1)=(n-2)!·(n-1)(n+1).(n-1)! \cdot (n+1) = (n-2)! \cdot (n-1)(n+1).

Konjugatregeln ger nu uttrycket som står i högerledet.

Från höger till vänster. Det gäller att n2-1=(n+1)(n-1)n^2-1 = (n+1)(n-1) vilket ger produkten

    (n2-1)·(n-2)!=(n+1)·(n-1)·(n-2)!(n^2-1)\cdot (n-2)! = (n+1)\cdot (n-1) \cdot (n-2)!.

Det gäller att (n-1)·(n-2)!=(n-1)!(n-1)\cdot (n-2)! = (n-1)! vilket ger produkten

    (n+1)·(n-1)!=n·(n-1)!+(n-1)!(n+1)\cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)!.

Vänsterledet följer från att det gäller att n·(n-1)!=n!n \cdot (n-1)! = n!.

  Tack så jättemycket !!!

Svara
Close