W-t-graf

Vilket trevligt namn du har.

Den potentiella energin är linjärt beroende på höjden, så a) ska gå upp, sedan ner linjärt. (Jag antar ett det är en person som puttar upp den i konstant hastighet) Bara graf A uppfyller dessa kriterier. 

Wk vet jag faktiskt inte. Den beror på bollens fart...

Vad svaret än är är meningen med denna uppgift att du ska förstå att skillnaden att Wk beror på v ickelinjärt medan Wp beror på h linjärt

Qetsiyah skrev:

Vilket trevligt namn du har.

Den potentiella energin är linjärt beroende på höjden, så a) ska gå upp, sedan ner linjärt. (Jag antar ett det är en person som puttar upp den i konstant hastighet) Bara graf A uppfyller dessa kriterier. 

Wk vet jag faktiskt inte. Den beror på bollens fart...

Vad svaret än är är meningen med denna uppgift att du ska förstå att skillnaden att Wk beror på v ickelinjärt medan Wp beror på h linjärt

Tack! På facit står det att a) E medan b) B som då båda är icke-linjära?

Tanken är nog att du ska tänka så här:

$W_k=\frac{mv^2}{2}$: När kulan rullar nerför backen så börjar den med hastighet 0 och slutar med en högre hastighet. Då hastigheten är 0 så är $W_k=0$. Detta utesluter graferna A, B och F. Vidare har vi att $W_k$ beror kvadratiskt på hastigheten $v$, vilket innebär att $W_k$ bör öka icke-linjärt mot slutet. Den enda graf som uppfyller det är E.

$W_p$: Det står inte uttryckligen, men vi får anta att friktionen försummas. Det betyder att den totala energin $W_k+W_p$ är konstant. Den enda graf som passar ihop med E är då B.

Det är viktigt att förstå att alla grafer har tiden på x-axeln.

Tänk först på energins oförstörbarhet, så:

W_k + W_p = konstant

Då tycks det finnas tre kurvpar att välja mellan....

PS. Vi bortser ifrån hur kulans rotation kan lagra energi.

Står Wk och Wp för kinetisk och potentiell energi? Låt oss anta det.

Det verkar som man utgår från att kulan har en viss hastighet vid utgångsläget och sedan rullar upp och ner för backen av sig själv utan att någon tex puttar på kulan.

Kulan har då positiv kinetisk energi vid start och lika stor kinetisk energi då den kommer tillbaka. Möjliga alternativ blir då C, D och E. Vi vet dock att hastigheten v skall vara en deriverbar funktion av tiden, dvs den måste ha väldefinierad momentan lutning överallt. Den kinetiska energin som funktion av tiden måste därför också vara deriverbar, så alternativen C och D faller bort.

Den potentiella energin borde vara noll i start och slutläge och ha ett maximum någonstans däremellan. Möjliga alternativ blir då A, B och F. Vi har vidare att den mekaniska energin bevaras, dvs Wk + Wp = konstant. Det betyder, då Wk är en deriverbar funktion av tiden, att Wp också måste vara en deriverbar funktion av tiden, så alternativ A och F faller bort. Det verkar dessutom som E + B = konstant, så det verkar stämma med E och B.

Yngve skrev:

Tanken är nog att du ska tänka så här:

$W_k=\frac{mv^2}{2}$: När kulan rullar nerför backen så börjar den med hastighet 0 och slutar med en högre hastighet. Då hastigheten är 0 så är $W_k=0$. Detta utesluter graferna A, B och F. Vidare har vi att $W_k$ beror kvadratiskt på hastigheten $v$, vilket innebär att $W_k$ bör öka icke-linjärt mot slutet. Den enda graf som uppfyller det är E.

$W_p$: Det står inte uttryckligen, men vi får anta att friktionen försummas. Det betyder att den totala energin $W_k+W_p$ är konstant. Den enda graf som passar ihop med E är då B.

Hur vet man att W_k beror kvadratiskt på hastigheten v? Den beror väl kvadratiskt på t och inte v (W_k=0,5 * mv²).

Titta på formeln W_k=0,5 * mv². Ser du att en kinetiska energin är proportionell mot hastigheten i kvadrat?

Smaragdalena skrev:

Titta på formeln W_k=0,5 * mv². Ser du att en kinetiska energin är proportionell mot hastigheten i kvadrat?

Jaha, nu såg jag det! Men om detta nu är en W-t-graf, varför bör man tänka på hur W_k är proportionell mot hastigheten istället för tiden?

Jaha, nu såg jag det! Men om detta nu är en W-t-graf, varför bör man tänka på hur Wk är proportionell mot hastigheten istället för tiden?

Bra fråga!

Man kan använda sig av lite formel-exercis.

$$\begin{gathered} v=a*t \\ {v}^2=a^2*t^2 \\ {W}_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{a}^2*t^2 \end{gathered}$$

Sedan beskriver vi att backens lutning med horisontalplanet har en vinkel "$\beta$" och att jordaccelerationen är "g". Då skriver vi:

$$\begin{gathered} a=g\sin \left(\beta \right) \\ {W}_k=\frac{1}{2}m{g}^2{\sin }^2\left(\beta \right)*t^2 \\ dvs. \\ {W}_k=k*t^2 \end{gathered}$$

Ramanujan skrev:

Jaha, nu såg jag det! Men om detta nu är en W-t-graf, varför bör man tänka på hur W_k är proportionell mot hastigheten istället för tiden?

Jag skrev att hastigheten ökar med tiden. Detta antagande är baserat på följande:

• Kulan måste ha hastigheten $0$ när den är uppe på toppen och vänder.
• När den rullar nedåt så påverkas den av en konstant kraft $F$ som beror på backens lutning men som är proportionell mot tyngdaccelerationen $g$.
• En konstant kraft $F$ innebär enligt $F=ma$ en konstant acceleration $a$, vilket i sin tur ger att kulans hastighet $v$ kommer att öka med tiden.

-----

Vi låtsas nu att hastigheten ökar linjärt, bara för att illustrera:

• Tidpunkten då kulan vänder vid toppen är t = 10 s. Då är hastigheten v = 0 och den kinesiska energin därmed $W_k=\frac{mv^2}{2}=0$ J.
• Efter en sekund, dvs vid $t = 11$ s är hastigheten $v = 1$ m/s och den kinesiska energin därmed $W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{m}{2}$ J.
• Efter två sekunder, dvs vid t = 12 s är hastigheten $v = 2$ m/s och den kinesiska energin därmed $W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{4m}{2}$ J.
• Efter tre sekunder, dvs vid $t = 13$ s är hastigheten $v = 3$ m/s och den kinesiska energin därmed $W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{9m}{2}$ J.
• Efter fyra sekunder, dvs vid $t = 14$ s är hastigheten $v = 4$ m/s och den kinesiska energin därmed $W_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{16m}{2}$ J.

Ser du att den kinesiska energin ökar kvadratiskt med tiden i detta exempel?

--------

I realiteten kommer hastigheten inte att öka linjärt, utan kanske kvadratiskt med tiden, vilket då bara innebär att den kinetiska energin ökar kubiskt med tiden, men principen att den kinesiska energin blrjar på 0 på toppen och sedan ökar icke-linjärt är densamma.

... vilket då bara innebär att den kinetiska energin ökar kubiskt med tiden...

Synd att du inte hann läsa mitt inlägg.

Det står ingenstans i problemet att backen har konstant lutning.

Det står ingenstans i problemet att backen har konstant lutning.

Haha...det har du helt rätt i!

Fast ska man verifierar något annat kurvpar än E och B, tycks det vara svårt att konstruera en sådan backe :-)

Yngve skrev:

[...]

I realiteten kommer hastigheten inte att öka linjärt, utan kanske kvadratiskt med tiden, vilket då bara innebär att den kinetiska energin ökar kubiskt med tiden,

[...]

Det här stämmer inte, vet inte vad jag tänkte på där.

Resten var dock rätt. I utförsbacken är kraften och därmed accelerationen konstant, vilket innebär att hastigheten ökar linjärt och därmed att den kinesiska energin ökar kvadratiskt.