1.70 a)uttryck lgx i lnx

Börja med:

$y=\log(x)$

Nu vore det bra om vi kan bli av med $\log$ och fundera på hur vi plötsligt kan introducera $\ln$.

Man kan också vara extra flitig och anta att basen är $a$ till att börja med. Det ändrar ingenting, och kanske är smartare här för att se till att du verkligen förstår logaritmer överlag och inte bara memorerat det. :)

Dracaena skrev:

Börja med:

$y=\log(x)$

Nu vore det bra om vi kan bli av med $\log$ och fundera på hur vi plötsligt kan introducera $\ln$.

---

Man kan också vara extra flitig och anta att basen är $a$ till att börja med. Det ändrar ingenting, och kanske är smartare här för att se till att du verkligen förstår logaritmer överlag och inte bara memorerat det. :)

så y=log(x) och

y=a^x?

Vi vet ju att om vi upphöjer lg på båda leden så får vi lg(y)=10^log(x) vilket är x=lgy?

Snyggt, det stämmer om vi jobbar med basen a. Så då får vi egentligen inte skriva y=log(x), men vi är nog överens om detta!

Nu vill vi på något sätt introducera ln. Det svåra kanske är varför? Men om vi ska uttrycka y i form av ln(x) så måste vi på något sätt introducera det. Vi vill heller inte ha lg(ln...)) eller liknande uttryck.

Dracaena skrev:

Snyggt, det stämmer om vi jobbar med basen a. Så då får vi egentligen inte skriva y=log(x), men vi är nog överens om detta!

Nu vill vi på något sätt introducera ln. Det svåra kanske är varför? Men om vi ska uttrycka y i form av ln(x) så måste vi på något sätt introducera det. Vi vill heller inte ha lg(ln...)) eller liknande uttryck.

Ja vi är överens. Jag vet att y=e^x är ju lny=x.  Så y=a^x liknar ju lite y=e^x

Ja! Kan vi få fram nått vettigt tror du om vi följer det spåret och logaritmrrar men ln? :)

Dracaena skrev:

Ja! Kan vi få fram nått vettigt tror du om vi följer det spåret och logaritmrrar men ln? :)

Ja vi får ju lny/lne=x och vi vet sen innan att lgy=x så då kan vi ersätta x med lgy. Således får vi ln(y)/ln(e)=lg(y). 

destiny99 skrev:

så y=log(x) och

y=a^x?

Det här stämmer inte.

• Om du menar tiologaritmen y = lg(x) så gäller att x = 10^y, inte y = 10^x. 
• Om du menar bas a-logaritmen y = log_a(x) så gäller att x = a^y, inte y = a^x..

Eller missförstår jag vad du skriver?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

så y=log(x) och

y=a^x?

Det här stämmer inte.

• Om du menar tiologaritmen y = lg(x) så gäller att x = 10^y, inte y = 10^x. 
• Om du menar bas a-logaritmen y = log_a(x) så gäller att x = a^y, inte y = a^x..

Eller missförstår jag vad du skriver?

Ja precis om vi logaritmerar y och lgx med 10 logaritmen så får vi ju 10^y=10^lg(x) vilket är ju x=10^y och logaritmerar vi då x och 10^y igen så får vi tillbaka det vi började med.

Gällande a-logaritmen håller jag med. I skolan lärde de oss den där varianten ^alog(x). Jag vet ej om det är samma sak som log_a(x)?

destiny99 skrev:

Ja precis om vi logaritmerar y och lgx med 10 logaritmen så får vi ju 10^y=10^lg(x) vilket är ju x=10^y  

OK bra. Du skriver "logaritmerar" när du menar "tar 10 upphöjt till".

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja precis om vi logaritmerar y och lgx med 10 logaritmen så får vi ju 10^y=10^lg(x) vilket är ju x=10^y  

OK bra. Du skriver "logaritmerar" när du menar "tar 10 upphöjt till".

Ja det gör jag eller jag menar den här klassiska lg^(10^y)=lg(x) för att få tillbaka y=lgx. Hur uttrycker man sig annars?

Förslag:

y = lg(x)

Ta "10 upphöjt till" på båda sidor (alternativt skriv "10^VL = 10^HL"):

10^y = 10^lg(x)

Förenkla HL:

10^y = x

Gällande a-logaritmen håller jag med. I skolan lärde de oss den där varianten alog(x). Jag vet ej om det är samma sak som loga(x)?

Yngve skrev:

Förslag:

y = lg(x)

Ta "10 upphöjt till" på båda sidor (alternativt skriv "10^VL = 10^HL"):

10^y = 10^lg(x)

Förenkla HL:

10^y = x

Ok

destiny99 skrev:

[...] jag menar den här klassiska lg^(10^y)=lg(x) för att [...]

Det ska stå lg(10^y) = lg(x), inte lg^(10^y) = lg(x).

Och vad gäller skrivsätt för a-logaritmen så är ^alog(x) och log_a(x) samma sak.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

[...] jag menar den här klassiska lg^(10^y)=lg(x) för att [...]

Det ska stå lg(10^y) = lg(x), inte lg^(10^y) = lg(x).

Och vad gäller skrivsätt för a-logaritmen så är ^alog(x) och log_a(x) samma sak.

Åh det var slarvfel. Tack för rättningen! Yes ok då vet jag om att det är samma sak. 

Så om jag vill skriva y=lnx så ska jag då skriva skriva om det som y=log_e(x)?

Ja, ln(x) är bara ett kortare skrivsätt för den naturliga logaritmen log_e(x).

På samma sätt är lg(x) ett kortare skrivsätt för tiologaritmen log₁₀(x).

Yngve skrev:

Ja, ln(x) är bara ett kortare skrivsätt för den naturliga logaritmen log_e(x).

På samma sätt är lg(x) ett kortare skrivsätt för tiologaritmen log₁₀(x).

Precis. Nu vill jag uttrycka lgx i lnx. Jag vet att lgx=log₁₀x dvs lg(x)/lg(10). Lnx=Log_ex=lg(x)/lg(e). Jag vet att lnx*lg(e)=lg(x) och då kan vi utnyttja det vi har om lgx vilket är lgx/lg10 i vår tidigare omskrivning.

Jag förstår inte riktigt din tankegång och vad ditt svar är.

Vad säger du om följande?

Sätt y = lg(x)

10^VL = 10^HL ger oss då

10^y = 10^lg(x)

Förenkla:

10^y = x

Logaritmera bägge led (med naturliga logaritmen):

ln(10^y) = ln(x)

Logaritmlag i VL:

y•ln(10) = ln(x)

Dividera båda sidor med ln(10):

y = ln(x)/ln(10)

Eftersom y = lg(x) så får vi:

lg(x) = ln(x)/ln(10)

Hängde du med?

Yngve skrev:

Jag förstår inte riktigt din tankegång och vad ditt svar är.

Vad säger du om följande?

Sätt y = lg(x)

10^VL = 10^HL ger oss då

10^y = 10^lg(x)

Förenkla:

10^y = x

Logaritmera bägge led (med naturliga logaritmen):

ln(10^y) = ln(x)

Logaritmlag i VL:

y•ln(10) = ln(x)

Dividera båda sidor med ln(10):

y = ln(x)/ln(10)

Eftersom y = lg(x) så får vi:

lg(x) = ln(x)/ln(10)

Hängde du med?

Ja jag hänger med, jag gjorde på liknande sätt och fick nu rätt svar.  Rätt svar är enligt facit lnx/ln10 eller lge*ln(x).  Jag fick lge*lnx enligt min lösning nedan :

Kan du visa hur du kommer fram till detta samband? Jag ser inte var du gör det.

=======

En annan sak: Jag har tidigare klagat på att det är väldigt svårt att se vad det står i dina uträkningar. Så är även fallet här.

Om jag inte visste vad det borde stå så skulle jag omöjligen kunna komma fram till vad du menar:

Yngve skrev:

Kan du visa hur du kommer fram till detta samband? Jag ser inte var du gör det.

=======

En annan sak: Jag har tidigare klagat på att det är väldigt svårt att se vad det står i dina uträkningar. Så är även fallet här.

Om jag inte visste vad det borde stå så skulle jag omöjligen kunna komma fram till vad du menar:

Det står 10^lg(y)=10^lg(x) är ekvivalent med 10^y=x. Ok då får jag försöka skriva långsammare och tydligare för att du ska se. 

Jag vet att log_e(x)=ln(x)/ln(e)=lnx. Jag ser att jag skrev log_e(x)=lg(x)/lg(e) vilket är samma sak som att skriva ln(x)/ln(e)? Det sambandet jag presenterade som du ej kunde se är väl ett känt samband eller hur?

destiny99 skrev:

Det står 10^lg(y)=10^lg(x) är ekvivalent med 10^y=x. Ok då får jag försöka skriva långsammare och tydligare för att du ska se. 

Jaha, står det så? Då misstog jag mig. Och då står det fel.

• Du säger att det i vänsterledet står 10^lg(y). Det är ju per definition lika med y.
• Du säger att det i högerledet står 10^lg(x). Det är ju per definition lika med x.

Detta betyder alltså att y = x, inte att 10^y = x.

=========

Du ska nog inte skriva långsammare och tydligare för min skull. Det är ju inte jag som rättar dina prov 😉

destiny99 skrev:

Jag vet att log_e(x)=ln(x)/ln(e)=lnx.

Ja, det behöver man inte visa (eftersom ln(e) = 1, vilket man kan förväntas veta).

Jag ser att jag skrev log_e(x)=lg(x)/lg(e) vilket är samma sak som att skriva ln(x)/ln(e)?

Det är däremot inte självklart. Detta var en sak som du verkade förutsätta (och det är samma sak som ditt svar). Jag tycker inte att du visar hur du kommer fram till ditt svar.

Det sambandet jag presenterade som du ej kunde se är väl ett känt samband eller hur?

Ja, att 10^y = 10^lg(x) är ekvivalent med x = 10^y får anses vara ett känt samband.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag vet att log_e(x)=ln(x)/ln(e)=lnx.

Ja, det behöver man inte visa (eftersom ln(e) = 1, vilket man kan förväntas veta).

Jag ser att jag skrev log_e(x)=lg(x)/lg(e) vilket är samma sak som att skriva ln(x)/ln(e)?

Det är däremot inte självklart. Detta var en sak som du verkade förutsätta (och det är samma sak som ditt svar). Jag tycker inte att du visar hur du kommer fram till ditt svar.

Det sambandet jag presenterade som du ej kunde se är väl ett känt samband eller hur?

Ja, att 10^y = 10^lg(x) är ekvivalent med x = 10^y får anses vara ett känt samband.

Jag förstår ej vad det är du vill att jag ska visa? 

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Det står 10^lg(y)=10^lg(x) är ekvivalent med 10^y=x. Ok då får jag försöka skriva långsammare och tydligare för att du ska se. 

Jaha, står det så? Då misstog jag mig. Och då står det fel.

• Du säger att det i vänsterledet står 10^lg(y). Det är ju per definition lika med y.
• Du säger att det i högerledet står 10^lg(x). Det är ju per definition lika med x.

Detta betyder alltså att y = x, inte att 10^y = x.

=========

Du ska nog inte skriva långsammare och tydligare för min skull. Det är ju inte jag som rättar dina prov 😉

Det var väldigt sent när jag satt med den uppgiften igår så jag kan förstå varför du ser en del fel. Var också trött lite i huvudet. Jag håller med dig.

Du var på rätt spår igår. 

Kan du från början, tydligt motivera för oss varför svaret är xyz och vad du gör mellan varje steg? 

Låtsas att vi är din lärare! :)

destiny99 skrev:

Jag förstår ej vad det är du vill att jag ska visa? 

Om jag tolkar din lösning rätt så är ditt svar på uppgiften att lg(x) = lg(e)*ln(x).

Det är rätt, men jag menar att du kommer fram till det genom att förutsätta att ln(x) = lg(x)/lg(e). Stämmer det?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag förstår ej vad det är du vill att jag ska visa? 

Om jag tolkar din lösning rätt så är ditt svar på uppgiften att lg(x) = lg(e)*ln(x).

Det är rätt, men jag menar att du kommer fram till det genom att förutsätta att ln(x) = lg(x)/lg(e). Stämmer det?

Ja precis. Men egentligen kom jag nu på att jag borde ha tänkt att lnx kan skrivas som log_e(x) vilket är sedan lika med lg(x)/lg(e)  eller ln(x)/ln(e)

destiny99 skrev:

Ja precis. Men egentligen kom jag nu på att jag borde ha tänkt att lnx kan skrivas som log_e(x) vilket är sedan lika med lg(x)/lg(e) 

OK men eftersom ln(x) = lg(x)/lg(e) är ekvivalent med lg(x) = lg(e)*ln(x) så är det som att du visar ett samband genom att förutsätta att sambandet gäller.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja precis. Men egentligen kom jag nu på att jag borde ha tänkt att lnx kan skrivas som log_e(x) vilket är sedan lika med lg(x)/lg(e) 

OK men eftersom ln(x) = lg(x)/lg(e) är ekvivalent med lg(x) = lg(e)*ln(x) så är det som att du visar ett samband genom att förutsätta att sambandet gäller.

Aa asså min avsikt var ju att uttrycka lg(x) i ln(x) så min snabba tanke var att multiplicera upp lg(e) med lnx vilket är då lika med lg(x). 

Yngve skrev:

Jag förstår inte riktigt din tankegång och vad ditt svar är.

Vad säger du om följande?

Sätt y = lg(x)

10^VL = 10^HL ger oss då

10^y = 10^lg(x)

Förenkla:

10^y = x

Logaritmera bägge led (med naturliga logaritmen):

ln(10^y) = ln(x)

Logaritmlag i VL:

y•ln(10) = ln(x)

Dividera båda sidor med ln(10):

y = ln(x)/ln(10)

Eftersom y = lg(x) så får vi:

lg(x) = ln(x)/ln(10)

Hängde du med?

Men det här sättet verkar bättre än mitt sätt.

destiny99 skrev:

Aa asså min avsikt var ju att uttrycka lg(x) i ln(x) så min snabba tanke var att multiplicera upp lg(e) med lnx vilket är då lika med lg(x). 

Ja, men förstår du min poäng?

Dvs så här:

Uppgift: Visa att lg(x) = lg(e)*ln(x)

"Lösning": Vi antar att ln(x) = lg(x)/lg(e)

Multiplicera nu bägge sidor med lg(e).

Vi får då att lg(x) = lg(e)*ln(x). Klart.

Du har alltså gjort ett antagande och sedan använt det för att visa att antagandet stämmer. Lite som att lyfta sig själv i håret.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Aa asså min avsikt var ju att uttrycka lg(x) i ln(x) så min snabba tanke var att multiplicera upp lg(e) med lnx vilket är då lika med lg(x). 

Ja, men förstår du min poäng?

Dvs så här:

Uppgift: Visa att lg(x) = lg(e)*ln(x)

"Lösning": Vi antar att ln(x) = lg(x)/lg(e)

Multiplicera nu bägge sidor med lg(e).

Vi får då att lg(x) = lg(e)*ln(x). Klart.

Du har alltså gjort ett antagande och sedan använt det för att visa att antagandet stämmer. Lite som att lyfta sig själv i håret.

Okej ja det gjorde jag. Vad är felet med att göra på det sättet? Sen så var ej uppgiften att visa att ln(x)=lg(x)/lg(e) utan det var att uttrycka lgx i ln(x). Men jag vet ej varför du gjorde en del av min lösning till en uppgift? Igår kom jag på att man kan även göra på det sättet. 

destiny99 skrev:

Okej ja det gjorde jag. Vad är felet med att göra på det sättet?

Om du hade behövt redovisa din lösning så skulle det inte ha räckt med det du skrev, enligt förklaringen i svar #35.

Sen så var ej uppgiften att visa att ln(x)=lg(x)/lg(e) utan det var att uttrycka lgx i ln(x). Men jag vet ej varför du gjorde en del av min lösning till en uppgift?

Du har rätt i att du endast behävde ange ett svar och att det inte krävdes någon lösning.

Jag ber om ursäkt för att jag krånglade till det för dig.

Om du vill kan du läsa om skillnaden mellan sats och bevis här.

Igår kom jag på att man kan även göra på det sättet. 

Det här stämmer inte. Ser du varför?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Okej ja det gjorde jag. Vad är felet med att göra på det sättet?

Om du hade behövt redovisa din lösning så skulle det inte ha räckt med det du skrev, enligt förklaringen i svar #35.

Sen så var ej uppgiften att visa att ln(x)=lg(x)/lg(e) utan det var att uttrycka lgx i ln(x). Men jag vet ej varför du gjorde en del av min lösning till en uppgift?

Du har rätt i att du endast behävde ange ett svar och att det inte krävdes någon lösning.

Jag ber om ursäkt för att jag krånglade till det för dig.

Om du vill kan du läsa om skillnaden mellan sats och bevis här.

Igår kom jag på att man kan även göra på det sättet. 

Det här stämmer inte. Ser du varför?

Yes jag ser det. Slarvfel! Råkade skriva lg(x)*lg(e)=lg(x) när jag egentligen menade ln(x)*lg(e)=lg(x). Sorry! Absolut jag läser skillnaden mellan sats och bevis.