2 bevis gällande mängder och konvexitet - övningsuppgifter från ETHZ

Forumdelen Bevis är till för att lägga upp färdiga bevis för olika satser, inte för frågor om bevis som man behöver hjälp med.

I Pluggakutens regler står det att man skall skapa en tråd för varje fråga, och att man skall visa hur man har försökt.  Du kan låta den första frågan vara kvar här (men skriv ett inlägg och visa hur du har försökt), men gör en ny tråd för den andra frågan. /moderator

Välkommen till Pluggakuten!

Låt $x$ och $y$ vara två punkter i mängden $\liminf_{n\to \infty} S_n$.

• För punkten $x$ finns det ett index $k_x \geq 1$ sådant att $x$ ligger i samtliga konvexa mängder $S_i$ där $i > k_x$.  
• För punkten $y$ finns det ett index $k_y \geq 1$ sådant att $y$ ligger i samtliga konvexa mängder $S_j$ där $j > k_y$.

De två punkterna $x$ och $y$ ligger i samtliga konvexa mängder $S_k$ där $k > \max(k_x,k_y)$ vilket medför att det räta linjestycket som förbinder $x$ och $y$ också ligger i samtliga konvexa mängder $S_k$ där $k>\max(k_x,k_y)$; det räta linjestycket som förbinder $x$ och $y$ ligger alltså i snittmängden $\bigcap_{k>\max(k_x,k_y)}S_k$ och denna är en delmängd av $\liminf_{n\to \infty} S_n$. Då punkterna $x$ och $y$ var godtyckligt valda betyder det att mängden $\liminf_{n\to \infty} S_n$ är konvex.

Ber om ursäkt. Jag skulle ha läst reglerna innan jag postade tråden.

Hursomhelst lyckas jag inte redigera mitt inlägg (går det ens?) så antar att den andra frågan kan ignoreras istället :)

Här är en ansats till första frågan. Framförallt skulle det uppskattas om någon kan säga om min definition av "algebraiskt öppen" stämmer utifrån förklaringen i uppgiften. Och när det kommer till att bevisa motsatsen (om S konvex) vet jag inte ens vart jag ska börja.

edit: ska vara för alla x i E, inte alla x i X

Albiki skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Låt $x$ och $y$ vara två punkter i mängden $\liminf_{n\to \infty} S_n$.

• För punkten $x$ finns det ett index $k_x \geq 1$ sådant att $x$ ligger i samtliga konvexa mängder $S_i$ där $i > k_x$.  
• För punkten $y$ finns det ett index $k_y \geq 1$ sådant att $y$ ligger i samtliga konvexa mängder $S_j$ där $j > k_y$.

De två punkterna $x$ och $y$ ligger i samtliga konvexa mängder $S_k$ där $k > \max(k_x,k_y)$ vilket medför att det räta linjestycket som förbinder $x$ och $y$ också ligger i samtliga konvexa mängder $S_k$ där $k>\max(k_x,k_y)$; det räta linjestycket som förbinder $x$ och $y$ ligger alltså i snittmängden $\bigcap_{k>\max(k_x,k_y)}S_k$ och denna är en delmängd av $\liminf_{n\to \infty} S_n$. Då punkterna $x$ och $y$ var godtyckligt valda betyder det att mängden $\liminf_{n\to \infty} S_n$ är konvex.

 

Tack så mycket!! Kort och tydligt bevis.

Hej!

Jag funderar på om följande tankar kanske kan vara till hjälp?

Låt $L$ vara en godtycklig rät linje som skär mängden $S$. Välj en punkt $x \in L \cap S$. Då mängden $S$ är öppen finns det en öppen boll $B(x,r)$ som ligger helt inuti $S$. Låt $y$ vara en punkt som ligger i skärningen $L \cap B(x,r)$. Då $E$ är ett normerat rum existerar avståndet $||x-y||$ och detta är mindre än $r$. Bilda mängden

    $b(x,r/2)=\{z \in L : ||z-x|| <>$;

detta är en öppen "boll" (intervall) i den inducerade topologin på linjen $L$; denna öppna boll  ligger helt inuti $L \cap S$ som därför är en öppen mängd. 

Albiki skrev:

Hej!

Jag funderar på om följande tankar kanske kan vara till hjälp?

Låt $L$ vara en godtycklig rät linje som skär mängden $S$. Välj en punkt $x \in L \cap S$. Då mängden $S$ är öppen finns det en öppen boll $B(x,r)$ som ligger helt inuti $S$. Låt $y$ vara en punkt som ligger i skärningen $L \cap B(x,r)$. Då $E$ är ett normerat rum existerar avståndet $||x-y||$ och detta är mindre än $r$. Bilda mängden

    $b(x,r/2)=\{z \in L : ||z-x|| <>$;

detta är en öppen "boll" (intervall) i den inducerade topologin på linjen $L$; denna öppna boll  ligger helt inuti $L \cap S$ som därför är en öppen mängd. 

Tack så mycket, det hjälpte absolut!! Ska klura lite på det omvända beviset, återkommer eventuellt