2014 uppgift 22

Använd pq-formeln och studera uttrycket du får under rottecknet. 
Vilket blir det största heltalet för a för att uttrycket under rottecknet ska vara > 0 ?

Vilken del är det du har problem med? Är det att hittauttrycken för själva lösningarna eller undersökningen av vilka a:n som uppfyller kravet?

Henning skrev:

Använd pq-formeln och studera uttrycket du får under rottecknet. 
Vilket blir det största heltalet för a för att uttrycket under rottecknet ska vara > 0 ?

förstår inte riktigt hur det är tänkt att använda pq-formeln på denna ekvationen, då om jag inte tänker fel får vi endast ha en andregradsterm och vi vill även ha att andragradstermen är själv alltså x^2 istället för 2x^2. Så hänger inte riktigt med på omskrivningen utav ekvationen för att vi sedan ska kunna utföra pq. Försöker jag göra detta får jag x^2/a + x/2 + a/2 - 1/2a = 0

Om du skriver ekvationen på normalform blir det: $x^2-\frac{a}{2}x+\frac{a^2-1}{2}=0$

pq-formeln ger nu: $x=\frac{a}{4}\pm \sqrt{\frac{a^2}{16}-\frac{a^2-1}{2}}$

För att ge två reella rötter så måste uttrycket under rottecknet vara >0

Vad får du då?

Henning skrev:

Om du skriver ekvationen på normalform blir det: $x^2-\frac{a}{2}x+\frac{a^2-1}{2}=0$

pq-formeln ger nu: $x=\frac{a}{4}\pm \sqrt{\frac{a^2}{16}-\frac{a^2-1}{2}}$

För att ge två reella rötter så måste uttrycket under rottecknet vara >0

Vad får du då?

a måste vara < 1, men det ger ju i sig inte ett tillräckligt svar, försökte t.ex. sätta in att a = 1/2 vilket gav x1 = 7/16 och x2 = -3/16, vilket inte är korrekt så hänger inte riktigt med hur pq-formeln kan hjälpa oss (Kan ha missförstått och gett a ett värde när det inte va vad du menade, och i så fall förstår jag ändå fortfarande inte hur pq fungerar med denna uppgiften).

Jag håller inte med om att a<1.

Om jag utvecklar termerna under rottecknet får jag: $\frac{a^2}{16}-\frac{a^2-1}{2}=\frac{a^2}{16}-\frac{8·(a^2-1)}{16}=\frac{a^2-8·a^2+8}{16}=\frac{8-7·a^2}{16}$

Här är det täljaren som är intressant och man kan nog komma fram till av uttrycket att det största heltal a kan ha för att hela uttrycket ska vara positivt är a=1

Jag ändrar mig, hade börjat på det spåret men slutat av någon anledning för tidigt så kom inte till 8-7a²/16, så håller med att a = 1. Men fortsätter du via detta spår får du x1 = 1/2 samt x2 = 0, detta blir problematiskt då om vi sätter in x1 får vi att a = 1/2, -1 och sätter vi in x2 får vi att a = 1, -1. Medans facit för uppgiften säger att a = 0.

Ni har beräknat bara att ekvationen har 2 lösningar, men har inte använt informationen att en lösning måste vara positiv och en måsta vara negativ. Tänk på att positiv * negativ = negativ. Kan ni hitta formeln för produkten av lösningarna för den andragradsekvationen? 

Lite lurig uppgift - missade att kolla att lösningarna med a=1 endast ger en lösning.

Men uttrycket med a under rottecknet visar att för att inte få negativt tecken under rottecknet så måste $a^2\le \frac{8}{7}$
Vilket ger att största heltalsvärdet blir a=1. Men det ger då inte två rötter med olika tecken.
Då får vi gå ner ett steg på tallinjen och testar a=0 . 
Då får vi rötterna $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$