2016 Q22, 2:a gradare med villkor

Ett fel är att du ansätter att ekvationen ska vara identisk med $(k-x)(k-x)=0$, dvs med $(k-x)^2=0$. Det är inte en generell andragradsekvation utan en väldigt speciell sådan.

Ett annat fel är att du får fel tecken på $x^2$-termen när du multiplicerar ihop parenteserna. Det gäller att $(k-x)(k-x)=k^2-2kx+x^2$.

Förslag: Kvadratkomplettera eller lös ursprungsekvationen med pq-formeln istället.

Yngve skrev:

Ett fel är att du ansätter att ekvationen ska vara identisk med $(k-x)(k-x)=0$, dvs med $(k-x)^2=0$. Det är inte en generell andragradsekvation utan en väldigt speciell sådan.

Ett annat frl är att du får fel tecken på $x^2$-termen när du multiplicerar ihop parenteserna. Det gäller att $(k-x)(k-x)=k^2-2kx+x^2$.

Förslag: Kvadratkomplettera eller lös ursprungsekvationen med pq-formeln istället.

Jag får ju ett litet ekvationssystem med a och k, är det inte den delen som plockar fram det unika ursprungsekvationen, dvs a? 

Om du löser ursprungsekvationen så får du att $x_1=1$ och $x_2=\frac{1}{a-1}$. Dessa lösningar är olika förutom i det fallet då $a=2$.

Din ekvation har däremot alltid de identiska lösningarna $x_1=x_2=k$.

Du har inte löst ekvationen som du skulle, du har bara hittat det värde på $a$ för vilket även ursprungsekvationen har två identiska lösningar, nämligen $x_1=x_2=1$.

Det var inte vad uppgiften gick ut på.

Nu förstår jag vad du menar efter att ha löst ut a med pq-formeln. Det står inte att dubbelrot inte är okej, så det funkar att sätta diskriminanten till 0 och därefter sätta in värdet för a i det som återstår. Men vad hade hänt ifall jag fick ut a=1/2 exempelvis? Då hade jag fått ut en negativ lösning med samma metod... 

Du ska inte lösa ut a med pq-formeln, du ska lösa ut x ur ekvationen, antingen med hjälp av kvadratkompmettering eller med hjälp av pq-formeln.

Sedan ska du hitta det minsta heltalsvärdet på a som gör att båda x-lösningarna är positiva.

Yngve skrev:

Du ska inte lösa ut a med pq-formeln, du ska lösa ut x ur ekvationen, antingen med hjälp av kvadratkompmettering eller med hjälp av pq-formeln.

Sedan ska du hitta det minsta heltalsvärdet på a som gör att båda x-lösningarna är positiva.

Har jag missförstått ditt första inlägg? Kan inte komma på hur jag skulle göra det på annat vis. 

Yngve skrev:

Du ska inte lösa ut a med pq-formeln, du ska lösa ut x ur ekvationen, antingen med hjälp av kvadratkompmettering eller med hjälp av pq-formeln.

Sedan ska du hitta det minsta heltalsvärdet på a som gör att båda x-lösningarna är positiva.

Menar du att jag ska försöka få x på en sida och a på andra? Jag lyckas inte med det. 

$(a-1)x^2-ax+1=0$

Detta är en andragradsekvation i variabeln x. För att man skall kunna använda pq-formeln behöver man ha en "osynlig etta" framför kvadrattermen. Dela alltså med a-1:

$x^2-\frac{a}{a-1}+\frac{1}{a-1}$

Här ser vi att $p=-\frac{a}{a-1}$ och att $q=\frac{1}{a-1}$. Kommer du vidare?

Smaragdalena skrev:

$(a-1)x^2-ax+1=0$

Detta är en andragradsekvation i variabeln x. För att man skall kunna använda pq-formeln behöver man ha en "osynlig etta" framför kvadrattermen. Dela alltså med a-1:

$x^2-\frac{a}{a-1}+\frac{1}{a-1}$

Här ser vi att $p=-\frac{a}{a-1}$ och att $q=\frac{1}{a-1}$. Kommer du vidare?

Jo, men jag löste den så... se mitt andra svar till Yngve. 

L1vL skrev:

Smaragdalena skrev:

$(a-1)x^2-ax+1=0$

Detta är en andragradsekvation i variabeln x. För att man skall kunna använda pq-formeln behöver man ha en "osynlig etta" framför kvadrattermen. Dela alltså med a-1:

$x^2-\frac{a}{a-1}+\frac{1}{a-1}$

Här ser vi att $p=-\frac{a}{a-1}$ och att $q=\frac{1}{a-1}$. Kommer du vidare?

Jo, men jag löste den så... se mitt andra svar till Yngve. 

Vilket inlägg menar du?

L1vL skrev:

Nu förstår jag vad du menar efter att ha löst ut a med pq-formeln. Det står inte att dubbelrot inte är okej, så det funkar att sätta diskriminanten till 0 och därefter sätta in värdet för a i det som återstår. Men vad hade hänt ifall jag fick ut a=1/2 exempelvis? Då hade jag fått ut en negativ lösning med samma metod... 

Vilka lösningar för ekvationen (a-1)x²-ax+1=0 om a = 2?

Smaragdalena skrev:

Vilka lösningar för ekvationen (a-1)x²-ax+1=0 om a = 2?

X=1, tack så jättemycket för er hjälp. Det känns som att något är påväg att lossna väldigt snart! 

Du har fortfarande inte löst ekvationen. Du har endast hittat den ena roten $x_1 = 1$ och sedan bestämt $a$ så att även den andra roten är $x_2=1$.

Uppgiften gick ut på att

1. Lösa ekvationen (fullständigt), dvs bestämma $x_1$ och $x_2$.
2. Bestämma det minsta heltalsvärde på a som gör att både $x_1$ och $x_2$ är större än 0.

Nu råkar det vara så att rätt svar är $a=2$, men det ser jag mer som en tillfällighet.

Yngve skrev:

Du har fortfarande inte löst ekvationen. Du har endast hittat den ena roten $x_1 = 1$ och sedan bestämt $a$ så att även den andra roten är $x_2=1$.

Uppgiften gick ut på att

1. Lösa ekvationen (fullständigt), dvs bestämma $x_1$ och $x_2$.
2. Bestämma det minsta heltalsvärde på a som gör att både $x_1$ och $x_2$ är större än 0.

Nu råkar det vara så att rätt svar är $a=2$, men det ser jag mer som en tillfällighet.

Vad borde nästa steg vara?  

Visa hur långt du kommer på steg 1 och 2.

Börja med Yngves punkt 1.

På punkt 1 får jag ut att båda rötterna är 1? Vilket är det andra x:et? 

Yngve skrev att du skall lösa ut x ur ekvationen (a-1)x²-ax+1 = 0. Svaren kommer att bero på a.

Det gick bättre nu, nu tror att jag förstår vad vi håller på med. Metoden är: 
1. Se när diskriminanten>=0 

2. Göra variabeln (t.ex a) fri från x i ursprungsekvationen. 

3. Göra en teckentabell och se hur variabeln ändras beroende på x. 

4. Uppfylla uppgiftens ”andra villkor”, 1. Måste ju oftast alltid gälla. 

Nej, du ska inte bestämma hur a beror av x utan tvärtom, hur x beror av a.

Varför gör du inte bara som vi säger?

Du ska lösa ut x ur ekvationen $(a-1)x^2-ax+1=0$

--> Gör nu det, t ex. med hjälp av pq-formeln. <--

Visa din uträkning.

Jag får ju inte loss det... tänkte att a och x beror på varandra därmed borde jag kunna kolla för a istället. 

$$\begin{gathered} (a-1)x^2-ax+1 =\hspace{0.17em}0 \\ abc - forme\ln ger oss \\ x = \frac{a\pm \sqrt{a^2-4(a-1)}}{2(a-1)} \\ x =\hspace{0.17em}\frac{a\pm \sqrt{{(a-2)}^2}}{2(a-1)} \\ a =\hspace{0.17em}2 ger oss dubbellrot dvs 1 positiv lösning, då får vi testa a =\hspace{0.17em}1 eftersom den gör om funktionen till linjär och den kanske då har en positiv lösning. \\ (a-1)x^2-ax+1=0 \\ -x + 1 =\hspace{0.17em}0 \\ x =\hspace{0.17em}1 \\ Om vi sätter a som ett negativt tal kommer vi få en negativ rot enligt abc forme\ln , sätter vi den som 0 får vi inga rötter, därför är a =\hspace{0.17em}1 svaret. \end{gathered}$$

Vad menar du att du inte får loss det?

Du ska använda pq-formeln.

Jag kan börja åt dig:

$(a-1)x^2-ax+1=0$

Om $a=1$ så lyder ekvationen $-x+1=0$, dvs $x=1$, dvs alla lösningar är positiva.

Om $a\neq1$ så kan vi dividera med $(a-1)$ och vi får då

$x^2-\frac{a}{a-1}x+\frac{1}{a-1}=0$

Pq-formeln ger oss nu att

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{(\frac{a}{2(a-1)})^2-\frac{1}{a-1}}$

Kan du fortsätta själv därifrån?

Dvs ta fram ett uttryck för $x_1$ och $x_2$, ta reda på vilka vörden på $a$ som gör att både $x_1$ och $x_2$ är större än 0 och till sist, hitta det minsta heltalet $a$ som gör att villkoret är uppfyllt.

Tror abc formeln är mycket lättare i detta fall då diskriminanten blir jobbig med pq

RandomUsername skrev:

Tror abc formeln är mycket lättare i detta fall då diskriminanten blir jobbig med pq

Kanske det, men det är inte svårt att förlänga diskriminantens andra term med $4(a-1)$ för att göra liknämnigt.

Det blir något konstigt när jag gör det, får ut andra värden på a då diskriminanten blir noll. Ser ju att det funkar med a=2, det är väl kvadratkompletteringen som har blivit fel. 

Flummigt, tänkte att vi letade efter det största heltalet. Oavsett så blir a:na fel för mig 

det ska vara $$\begin{gathered} a^2-4a + 4 och inte \\ {a}^2+4a-4 \end{gathered}$$

L1vL skrev:

.. tänkte att a och x beror på varandra därmed borde jag kunna kolla för a istället. 

Javisst kan du lösa ut a istället, men hur ska du då kunna besvara frågan? Dvs hur ska du kunna säga vilka värden på a som gör att alla ekvationens lösningar är positiva?

RandomUsername skrev:

Tror abc formeln är mycket lättare i detta fall då diskriminanten blir jobbig med pq

Hur löser du den med abc? Jag verkar inte ens ha förstått metoden man ska använda

Kolla mitt inlägg lite längre upp.

Du kan använda vilken som helst av följande metoder

• abc-formeln (även kallad lösningsformeln), du hittar den i ditt formelblad 
• pq-formeln, du hittar den i ditt formelblad.
• kvadratkomplettering

Jag rekommenderar att du bekantar dig med alla tre men att du till denna uppgift använder den du känner dig mest bekväm med.

Det är en sak jag inte förstår. Vill att olikheten ska gälla, men när jag stoppar in a=1 då får jag noll i nämnaren utan att det blir det i täljaren, hur kan det vara okej att det blir så? 

Det är inte OK med 0 i nämnaren, men om a = 1 så är det ingen andragradsfunktion och då kan du inte använda pq-formeln.

Jag ser fortfarande inte att du har löst ekvationen fullständigt. Och jag förstår inte varför du sätter diskriminanten lika med 0.

Nu löser jag ekvationen åt dig så att du ser vad jag menar med "fullständig lösning".

Yngve skrev:

Vad menar du att du inte får loss det?

Du ska använda pq-formeln.

Jag kan börja åt dig:

$(a-1)x^2-ax+1=0$

Om $a=1$ så lyder ekvationen $-x+1=0$, dvs $x=1$, dvs alla lösningar är positiva.

Om $a\neq1$ så kan vi dividera med $(a-1)$ och vi får då

$x^2-\frac{a}{a-1}x+\frac{1}{a-1}=0$

Pq-formeln ger oss nu att

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{(\frac{a}{2(a-1)})^2-\frac{1}{a-1}}$

Jag fortsätter:

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4(a-1)^2}-\frac{4(a-1)}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{a^2-4(a-1)}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{a^2-4a+4}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{(a-2)^2}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\frac{a-2}{2(a-1)}$

$x_1=\frac{a+(a-2)}{2(a-1)}=\frac{2a-2}{2a-2}=1$

$x_2=\frac{a-(a-2)}{2(a-1)}=\frac{2)}{2(a-1)}=\frac{1}{a-1}$

Nu är ekvationen fullständigt löst och vi kan konstatera att för att båda rötterna ska vara större än 0 så måste det gälla att $\frac{1}{a-1}>0$, vilket innebär att $a>1$.

Nästa steg blir att sammanfatta våra findings.

Vi ser att

• om $a=1$ så är ekvationens samtliga lösningar (egentligen den enda lösningen) positiva (nämligen x = 1).
• om $a\neq1$ så måste $a$ vara större än $1$ för att ekvationens samtliga lösningar ska vara positiva.

Svaret på uppgiften blir alltså $a=1$.

Läs nu uppgiftslydelsen igen. Håller du med om att det var detta de var ute efter?

Yngve skrev:

Yngve skrev:

Vad menar du att du inte får loss det?

Du ska använda pq-formeln.

Jag kan börja åt dig:

$(a-1)x^2-ax+1=0$

Om $a=1$ så lyder ekvationen $-x+1=0$, dvs $x=1$, dvs alla lösningar är positiva.

Om $a\neq1$ så kan vi dividera med $(a-1)$ och vi får då

$x^2-\frac{a}{a-1}x+\frac{1}{a-1}=0$

Pq-formeln ger oss nu att

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{(\frac{a}{2(a-1)})^2-\frac{1}{a-1}}$

Jag fortsätter:

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4(a-1)^2}-\frac{4(a-1)}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{a^2-4(a-1)}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{a^2-4a+4}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\sqrt{\frac{(a-2)^2}{4(a-1)^2}}$

$x=\frac{a}{2(a-1)}\pm\frac{a-2}{2(a-1)}$

$x_1=\frac{a+(a-2)}{2(a-1)}=\frac{2a-2}{2a-2}=1$

$x_2=\frac{a-(a-2)}{2(a-1)}=\frac{2)}{2(a-1)}=\frac{1}{a-1}$

Nu är ekvationen fullständigt löst och vi kan konstatera att för att båda rötterna ska vara större än 0 så måste det gälla att $\frac{1}{a-1}>0$, vilket innebär att $a>1$.

Nästa steg blir att sammanfatta våra findings.

Vi ser att

• om $a=1$ så är ekvationens samtliga lösningar (egentligen den enda lösningen) positiva (nämligen x = 1).
• om $a\neq1$ så måste $a$ vara större än $1$ för att ekvationens samtliga lösningar ska vara positiva.

Svaret på uppgiften blir alltså $a=1$.

Läs nu uppgiftslydelsen igen. Håller du med om att det var detta de var ute efter?

Ja! Tack så jättemycket för att du inte lät mig komma undan med att tro att jag hade förstått, verkligen.