A^1001

Lite svårt att se vad du menar. Du behöver nog skriva för hand eller skicka en bild.

Matrisen $\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}$ har egenvärdet $\lambda_1=2$ med tillhörande egenvektor $v_1=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ och egenvärdet $\lambda_2=-1$ med tillhörande egenvektor $v_2 = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$.

Egenvektorerna bildar en bas i planet, så varje vektor i planet kan skrivas som en linjärkombination av $v_1$ och $v_2$, d.v.s. $u = a_1 v_1 + a_2 v_2$ för ett lämpligt val av de reella talen $a_1, a_2$. I synnerhet kan vektorn $u = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ skrivas som en sådan linjär kombination. Därefter utnyttjar man linjäritet av $A$ och definitionen av egenvärden+egenvektorer:

$A^{1001} u = A^{1001}(a_1 v_1 + a_2 v_2) = a_1 A^{1001}v_1 + a_2 A^{1001} v_2 = a_1 \, 2^{1001} v_1 + a_2\,(-1)^{1001} v_2$

LuMa07 skrev:

Matrisen $\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}$ har egenvärdet $\lambda_1=2$ med tillhörande egenvektor $v_1=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ och egenvärdet $\lambda_2=-1$ med tillhörande egenvektor $v_2 = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$.

Egenvektorerna bildar en bas i planet, så varje vektor i planet kan skrivas som en linjärkombination av $v_1$ och $v_2$, d.v.s. $u = a_1 v_1 + a_2 v_2$ för ett lämpligt val av de reella talen $a_1, a_2$. I synnerhet kan vektorn $u = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ skrivas som en sådan linjär kombination. Därefter utnyttjar man linjäritet av $A$ och definitionen av egenvärden+egenvektorer:

$A^{1001} u = A^{1001}(a_1 v_1 + a_2 v_2) = a_1 A^{1001}v_1 + a_2 A^{1001} v_2 = a_1 \, 2^{1001} v_1 + a_2\,(-1)^{1001} v_2$

Jag hänger inte riktigt med. Hur menar du att vektorn u ska skrivas som en linjär kombination? Vad är definitionenn av egenvärden och egenvektorer nu igen?  Sen förstår jag inte varför du skriver egenvektorer som en linjärkombination?

Omskrivning som linjärkombination

Hitta talen $a_1$ och $a_2$ så att

$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$

Egenparets definition

Talet $\lambda$ är ett egenvärde av matrisen $A$ med tillhörande egenvektor $v$ om $Av = \lambda v$.

LuMa07 skrev:

Omskrivning som linjärkombination

Hitta talen $a_1$ och $a_2$ så att

$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$

Egenparets definition

Talet $\lambda$ är ett egenvärde av matrisen $A$ med tillhörande egenvektor $v$ om $Av = \lambda v$.

Men varför ställer man upp det på det sättet för [0 1]?  Definitionen känner jag igen.

Enligt uppgiften som du skrivit den så ska man bestämma $A^{1001} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$. Eftersom vektorn $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ inte är en egenvektor, så är det inte lätt att beräkna en sådan hög potens av A gånger denna vektor.

Däremot är det väldigt enkelt att räkna ut potenser av $A$ gånger en egenvektor, då $A^{1001} v = \lambda^{1001} v$ om $\lambda$ och $v$ är ett egenpar.

Man delar upp $u$ som en summa av egenvektorer för att kunna utnyttja att $A^{1001}$ gånger en egenvektor är enkelt att beräkna.

Har du fått lära dig att diagonalisera?

dvs göra omskrivningen

AS=SD

I sådant fall är 

A¹⁰⁰¹ = (SDS^-1)¹⁰⁰¹ = SDS^-1SDS^-1SDS^-1[...]SDS^-1 = SDDD[...]DS^-1 = SD¹⁰⁰¹S^-1