abelska grupper

Jag antar här att du frågar efter hur man på ett konstruktivt sätt kan komma fram till svaren utan att gissa på måfå och inte om hur man verifierar att elementen faktiskt har ordning 6 när man fått dem. Verifikation är ju inte så svårt att göra "brute-force".

Ett sätt att tänka på det är med minsta gemensamma faktor. Så om man tar (4,1) som exempel, vad har 4 för ordning i $\mathbf{Z}_8$ och vad har 1 för ordning i $\mathbf{Z}_3$? Vad är minsta gemensamma faktor av ordningarna?

edit: Glömde backslash i LaTeX.

jag får att $0\left(4\right)=2$ i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_8$ och $0\left(1\right)=3$ i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$ och vi får då MGM(2,3)=6

men om man tittar på ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_4\times {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$  innan man vet att den ska bli (1,0,1)  först ska man väl tänka vilka tal som man kan multiplicera för att få 6, dvs 1,2,3 eller 6. Ordningen för 1 i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_2$ får vi ju 1=1, 1+1=0 får vi inte då 0(1)=2 i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_2$ ?

Det är en bra början att tänka på faktorerna av 6 (1,2,3,6). Talen du väljer bör ha ordningar som är någon av de talen, annars kan dom inte ha MGF = 6 på något sätt. Det du behöver är att MGF av ordningarna av de olika talen du väljer är 6. Ett tips kan vara att man alltid kan "fylla ut" med tal av ordning 1 (vilka är dessa?), då dessa inte påverkar MGF. T.ex. så är MGF(2,3) = MGF(2,1,3) = 6. Så om man kan hitta tal av ordning 2 och 3 är man klar, då kan man bara "fylla ut" resten.

om man då tittar på den andra gruppen får jag att 0(1)=2 i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_2$ och 0(1)=3 i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$ men vad blir ordningen av noll i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_4$?

0 är identitetselementet och identitetselementet har alltid ordning 1.