Absolut belopp

Hej.

Pröva med ett väldigt enkelt komplext tal u

Hur beräknar man absolutbeloppet för komplext tal? 
Om $z = a+bi$, vad är $|z|$?

Har prövat massa olika. Får olika resultat.

Skulle ju vara något lite kryptiskt om reella delen är 0 eller någonting. Fast fick inte ihop det heller nu.

AlexMu skrev:

Hur beräknar man absolutbeloppet för komplext tal? 
Om $z = a+bi$, vad är $|z|$?

$\sqrt{a^2+b^2}$

Pröva att rita två komplexa tal z och u i ett koordinatsystem.

|z| och |u| är respektive avstånd till origo.

Skapa nu z+u geometriskt.

|z+u| är avståndet till origo.

Visa din bild.

Yngve skrev:

Pröva att rita två komplexa tal z och u i ett koordinatsystem.

|z| och |u| är respektive avstånd till origo.

Skapa nu z+u geometriskt.

|z+u| är avståndet till origo.

Visa din bild.

EDIT - såg fel.

Bra, men z+u ligger lite fel, det borde vara 5+7i, inte 5+6i.

Ser du då att |z+u| < |z|+|u|?

Nej egentligen inte, men kan räkna mig till det

Om du konstruerar z+u genom att rita u som en pil från origo till (2, 4) och sedan adderar z genom att från pilspetsen vid (2, 4) rita pilen som motsvarar z så blir det tydligare.

Okej. Ja det känns ju rimligt

Här syns det tydligt att den röda pilen är kortare än summan av de blå pilarnas längder.

Ja, jag gjorde en liknande på min bild här.

Bra.

Kan du komma på något sätt att få likhet?

Jag är ledsen, men jag har ingen aning.

Pröva att rita två pilar som pekar ännu mer åt olika håll.

Ser du att skillnaden mellan blå och röd då blir ännu större?

Pröva sedan att rita två pilar som pekar nästan åt samma håll. Då blir skillnaden mycket mindre ...

Jo..

Det ska vara samma tal tror jag. Eventuellt att det räcker med att de har samma vinkel.

Det räcker med samma vinkel tydligen, okej.

Tack

Bra!

(Men det finns ytterligare ett u som uppfyller villkoret.)

0,0 kanske

Dkcre skrev:

0,0 kanske

Just det. Bra!

Tack så mycket

Dkcre skrev:

Tack så mycket

Vill också nämna att generellt stämmer det att
 
$|z+w| \leq |z| + |w|$ för alla komplexa tal $z$ och $w$. 

Denna olikhet kallas för triangelolikheten.