Absolut belopp och olikheter

Du behöver dela upp olikheten i olika intervall, utifrån när respektive absolutbelopp byter tecken. När x är större än eller lika med 7, är alla absolutbelopp positiva. Då får vi olikheten: 

$$\begin{gathered} \left(x-4\right)+4>\left(x-1\right)+\left(x-7\right) \\ x>2x-8 \\ 8>x \end{gathered}$$

Eftersom vi krävde att x skulle vara större än sju, har vi nu fått fram att att en lösning är $7\le x<8$. 

Hur blir det om x är mindre än sju? :)

Här är min lösning (kan nytta andra):

Samla absolutbeloppen på ena sidan:

$4>\left|x-1\right|+\left|x-7\right|-\left|x-4\right|$ 

Eftersom absolutbelopp kan "anta" både negativa och positiva värden ska man dela absolutbeloppen i olikheten upp i olika fall: 

$\left|x-1\right|$kan delas upp på följande sätt: 

1: $(x-1)$där värdet blir positiv för $x\ge 1$

2:$-(x-1)$ där värdet, i parentesen, blir negativt för $x<1$

Gör man så för alla absolutbelopp får man fyra "intervaller". Enklast att se intervallerna när man skriver upp de på en tallinje: 

Låt oss se hur tecknen ser ut vid ett fall: 

$x\ge 7$

$\left|x-1\right| >0$

$\left|x-7\right|\ge 0$

$\left|x-4\right|>0$

Lösningen blir Smutstvätts lösning:

 

$$\begin{gathered} (x-4)+4>(x-1)+(x-7) \\ x>2x-8 \\ 8>x \end{gathered}$$

 

Löser man alla fall på samma sätt får vi fyra lösningar: 

$$\begin{gathered} x<8 \\ x>6 \\ x<2 \\ x>0 \end{gathered}$$

Vilket kan skrivas som:

$$\begin{gathered} 0<x<2 \\ 6<x<8 \end{gathered}$$