2 svar
84 visningar
Signalfel 74
Postad: 5 aug 2018 23:52

Abstrakt algebra: Visa att maximala ideal är primideal

Hej! Som rubriken lyder ska jag bevisa att varje maximalt ideal är ett primideal. Jag vet att det finns olika sätt att visa detta men i den här kursen ska vi använda följande resonemang:

(1) Antag att M är ett maximalt ideal och ab M , men a inte ett element i M
(2) --> (a, M) = {ax+m | xR, mM} = R 
(3) --> 1  R
(4) --> b = abx + bm 

Här slutar beviset och jag förstår inte riktigt vad det är som visats. 
(1) Vi antar att M är ett maximalt ideal och eftersom b fortfarande kan vara ett element i M kan M vara ett primideal även om a inte är ett element i M
(2) Vi skapar idealet (a,M) som är större än M och därför måste vara hela ringen R (eftersom M är ett maximalt ideal)
(3) Varje ring innehåller 1
(4) Här tror jag de tänkt att 1=ax+m för något a, x och m, och att b således kan skrivas som b = bax+bm. Men vad bevisar det? Och hur visar det att M är ett primideal?

Rörig fråga men jag hoppas någon förstår min lärare bättre än jag gör :/ Tack på förhand!

Prontera 55
Postad: 6 aug 2018 12:34

Du har tänkt rätt i att det man försöker visa är att bMb \in M, vilket alltså skulle visa att MM är ett primideal.

En annan viktig sak att klargöra är att vi antar här att RR är en kommutativ ring med etta. Primideal brukar ofta definieras i kommutativa ringar och det här beviset kräver vidare att RR har en multiplikativ identitet.

Du verkar ha tänkt rätt om steg (1) och (2). I steg (3) så har vi 1R1 \in R, inte för att alla ringar innehåller 11. Alla ringar har ett additivt identitetselement, men vi behöver ett multiplikativt identitetselement, vilket vi endast får då vi antar att RR är en ring med etta.

Du har tänkt rätt i första delen av steg (4). Det återstår alltså att utifrån b=bax+bmb = bax + bm visa att bMb \in M.

RR är kommutativ har vi b=bax+bm=abx+bmb = bax + bm = abx + bm. Notera nu att abMab \in M och mMm \in M. Det sista viktiga steget nu är att komma ihåg definitionen av ett ideal. Ideal är delringar som "absorberar" multiplikation med godtyckliga element i ringen. Så abxMabx \in M och bmMbm \in M, då MM är ett ideal och abMab \in M och mMm \in M. Slutligen måste MM vara sluten under addition vilket då visar att bMb \in M och därav att MM är ett primideal.

Signalfel 74
Postad: 16 aug 2018 23:20
Prontera skrev:

Du har tänkt rätt i att det man försöker visa är att bMb \in M, vilket alltså skulle visa att MM är ett primideal.

En annan viktig sak att klargöra är att vi antar här att RR är en kommutativ ring med etta. Primideal brukar ofta definieras i kommutativa ringar och det här beviset kräver vidare att RR har en multiplikativ identitet.

Du verkar ha tänkt rätt om steg (1) och (2). I steg (3) så har vi 1R1 \in R, inte för att alla ringar innehåller 11. Alla ringar har ett additivt identitetselement, men vi behöver ett multiplikativt identitetselement, vilket vi endast får då vi antar att RR är en ring med etta.

Du har tänkt rätt i första delen av steg (4). Det återstår alltså att utifrån b=bax+bmb = bax + bm visa att bMb \in M.

RR är kommutativ har vi b=bax+bm=abx+bmb = bax + bm = abx + bm. Notera nu att abMab \in M och mMm \in M. Det sista viktiga steget nu är att komma ihåg definitionen av ett ideal. Ideal är delringar som "absorberar" multiplikation med godtyckliga element i ringen. Så abxMabx \in M och bmMbm \in M, då MM är ett ideal och abMab \in M och mMm \in M. Slutligen måste MM vara sluten under addition vilket då visar att bMb \in M och därav att MM är ett primideal.

 Tack snälla för en jättebra förklaring! Nu förstår jag :) 

Svara Avbryt
Close