Äkta delmängd och delmängd

En mängd kan vara en delmängd till sig själv, men den kan inte vara en äkta delmängd till sig själv. En äkta delmängd är alltid mindre än grundmängden.

Föreställ dig att januari och februari är en delmängd till årets månader. Vi säger att januari och februari tillhör B. Detta innebär att inom årets månader (som vi kallar mängden A) så finns januari och februari med. Men januari och februari är ju inte ALLA månaderna som finns under året och därmed är det en äkta delmängd.

Jämför detta med om du har mängden C som består av januari, februari, mars, april, maj, juni, juli, augusti, september, oktober, november och december. Dess ingår ju i A (alla årets månader) MEN de är INTE en äkta delmängd. För att en äkta delmängd innebär att mängden (i det här fallet C) INTE får vara lika med vår mängd A). 

Låt $A$ och $B$ vara två mängder.

• Vi säger att $A$ är en delmängd av $B$ (skrivet $A\subseteq B$) om alla element i $A$ även finns i $B$.
• Vi säger att $A$ är en äkta delmängd av $B$ (skrivet $A\subset B$ eller $A\subsetneq B$) om alla element i $A$ finns i $B$, och det dessutom gäller att $A\neq B$ (dvs. $A$ missar minst ett element i $B$).

Exempel: Låt $X=\{1,2,3,4,5\}$, låt $Y=\{1,5\}$, $Z=\{1,2,3,4,5\}$ och $W=\{2,3,8,11\}$.

Då gäller följande:

• $Y$ är en delmängd av $X$, eftersom alla element som ligger i $Y$ även ligger i $X$.
• $Y$ är dessutom en äkta delmängd av $X$, eftersom $Y\neq X$ (t.ex. så missar $Y$ elementet 2) .
• $Z$ är en delmängd av $X$, eftersom alla element som ligger i $Z$ även ligger i $X$.
• $Z$ är inte en äkta delmängd av $X$, eftersom $Z$ täcker hela $X$ (dvs. $Z=X$).
• $W$ är inte en delmängd av $X$, eftersom $W$ innehåller saker som inte finns i $X$ (t.ex. gäller $8\in W$ men $8\not\in X$).

Om vi vill kan vi jämföra begreppen delmängd och äkta delmängd med tecknen $\leq$ och . Om vi skriver $x\leq y$ så betyder det att $x$ är mindre än eller lika med $y$. Om vi skriver $x<y$ så betyder det att $x$ är mindre än (och inte lika med!) $y$.

Har du en given mängd $X$ så kommer alla delmängder utom just $X$ självt att vara äkta delmängder.

Exempel: Mängden $X=\{a,b,c\}$ har totalt 8 stycken delmängder:

• $\varnothing$ (dvs. den tomma mängden $\{\:\}$).
• $\{a\}$
• $\{b\}$
• $\{c\}$
• $\{a,b\}$
• $\{a,c\}$
• $\{b,c\}$
• $\{a,b,c\}$.

Alla dessa förutom den sista är äkta delmängder.