Algebra: har hom(A,B) samma struktur som A och B?

Hej, det är en vild gissning. Om mängden homomorfier mellan vektorrum råkar bli ett vektorrum, ja då kanske det även är så att mängden homomorfier mellan ringar kroppar grupper och vad som helst har samma struktur?

(Om A,B är samma typ av struktur)

Vilken struktur Hom-mängderna i en kategori har (om de ens är mängder!) är en central fråga i kategoriteoretiska sammanhang, som det finns mycket att säga om. Bland annat pratar man om så kallade berikade kategorier, som är ett viktigt begrepp i modern algebra, och som du kan läsa mer om på nLab ifall du vill få ett smakprov av hur kategoriteori (a.k.a. "abstrakt nonsens") ser ut i praktiken.

Men okej, låt oss nu adressera ursprungsfrågan!

Eftersom du har nämnt att du var lite nyfiken på kategoriteori så kan vi formulera det lite mer precist så här: Låt $\mathcal{C}$ vara en kategori. Finns det då något "naturligt" (eller kanske snarare: "funktoriellt", men låt oss lämna det därhän tills vidare) sätt att givet två objekt $A,B\in\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ betrakta $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ som ett objekt i $\mathcal{C}$ ?

Svaret på den frågan är i allmänhet nej.

Som motexempel kan vi ta kategorin $\mathbf{Ring}$ av ringar (med multiplikativ identitet) och ringhomomorfier. Till exempel är $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/23\mathbb{Z})$ tom (varför?), medan $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ enbart består av ett element (återigen: varför?), och det är per definition omöjligt att utrusta den tomma mängden eller en mängd med enbart ett element med en ringstruktur. (Dessa exempel fungerar även i underkategorin av kroppar.)

I vissa kategorier fungerar det dock. Några exempel:

Kategorin $\mathbf{Set}$ av mängder och avbildningar mellan mängder.
Givet två två mängder $A$ och $B$ så är $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(A,B)$ alltid en mängd.
Kategorin $\mathbf{Vect}_k$ av vektorrum över en kropp $k$ och linjära avbildningar.
Om $V$ och $W$ är två vektorrum över $k$ , så bildar $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Vect}_k}(V,W)$ ett vektorrum över $k$ under punktvis addition och skalning.
Kategorin $\mathbf{Ab}$ av abelska (dvs. kommutativa) grupper och grupphomomorfier.
Om $A$ och $B$ är två abelska grupper så bildar $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ab}}(A,B)$ en abelsk grupp under punktvis "addition" (eller vad man nu vill kalla gruppoperationen på $B$ ).
[Följdfråga (kanske får vänta tills du har läst mer abstrakt algebra): Fungerar motsvarande konstruktion även i den större kategorin $\mathbf{Grp}$ av grupper (där man inte begränsar sig till abelska grupper).]
Kategorin $\mathbf{Top}$ av topologiska rum och kontinuerliga avbildningar.
Här gäller det att de kontinuerliga avbildningarna mellan två rum $A$ och $B$ alltid bildar ett topologiskt rum i sig, där topologin på $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(A,B)$ är den något invecklade kompakt-öppen-topologin.

För svårt! Kan du skriva mer bakgrundsinformation? Tex vad en "kategori" är för nåt?

Om du får möjlighet att läsa lite abstrakt algebra någon gång i framtiden kan du prova att återkomma till den här tråden efter det! Att kunna algebra är inte strikt nödvändigt för att lära sig kategoriteori, men det hjälper!

Om du ändå vill nosa lite på kategoriteori redan nu så är bloggposterna på den här sidan en bra början:

https://www.math3ma.com/categories/category-theory.

Svara Avbryt

Visa senaste svar