6 svar
265 visningar
Qetsiyah 5395 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 24 maj 2020 01:16 Redigerad: 24 maj 2020 13:45

Algebra: har hom(A,B) samma struktur som A och B?

Hej, det är en vild gissning. Om mängden homomorfier mellan vektorrum råkar bli ett vektorrum, ja då kanske det även är så att mängden homomorfier mellan ringar kroppar grupper och vad som helst har samma struktur?

(Om A,B är samma typ av struktur)

oggih 914 – F.d. Moderator
Postad: 4 jul 2020 20:22 Redigerad: 5 jul 2020 09:57

Vilken struktur Hom-mängderna i en kategori har (om de ens är mängder!) är en central fråga i kategoriteoretiska sammanhang, som det finns mycket att säga om. Bland annat pratar man om så kallade berikade kategorier, som är ett viktigt begrepp i modern algebra, och som du kan läsa mer om på nLab ifall du vill få ett smakprov av hur kategoriteori (a.k.a. "abstrakt nonsens") ser ut i praktiken. 

Men okej, låt oss nu adressera ursprungsfrågan!

Eftersom du har nämnt att du var lite nyfiken på kategoriteori så kan vi formulera det lite mer precist så här: Låt C\mathcal{C} vara en kategori. Finns det då något "naturligt" (eller kanske snarare: "funktoriellt", men låt oss lämna det därhän tills vidare) sätt att givet två objekt A,BObj(C)A,B\in\mathrm{Obj}(\mathcal{C}) betrakta HomC(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B) som ett objekt i C\mathcal{C}

Svaret på den frågan är i allmänhet nej.

Som motexempel kan vi ta kategorin Ring\mathbf{Ring} av ringar (med multiplikativ identitet) och ringhomomorfier. Till exempel är HomRing(/2,/23)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/23\mathbb{Z}) tom (varför?), medan HomRing(/2,/2)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) enbart består av ett element (återigen: varför?), och det är per definition omöjligt att utrusta den tomma mängden eller en mängd med enbart ett element med en ringstruktur. (Dessa exempel fungerar även i underkategorin av kroppar.)

I vissa kategorier fungerar det dock. Några exempel:

  • Kategorin Set\mathbf{Set} av mängder och avbildningar mellan mängder.
    Givet två två mängder AA och BB så är HomSet(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(A,B) alltid en mängd.
  • Kategorin Vectk\mathbf{Vect}_k av vektorrum över en kropp kk och linjära avbildningar.
    Om VV och WW är två vektorrum över kk, så bildar HomVectk(V,W)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Vect}_k}(V,W) ett vektorrum över kk under punktvis addition och skalning.
  • Kategorin Ab\mathbf{Ab} av abelska (dvs. kommutativa) grupper och grupphomomorfier.
    Om AA och BB är två abelska grupper så bildar HomAb(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ab}}(A,B) en abelsk grupp under punktvis "addition" (eller vad man nu vill kalla gruppoperationen på BB).
    [Följdfråga (kanske får vänta tills du har läst mer abstrakt algebra): Fungerar motsvarande konstruktion även i den större kategorin Grp\mathbf{Grp} av grupper (där man inte begränsar sig till abelska grupper).]
  • Kategorin Top\mathbf{Top} av topologiska rum och kontinuerliga avbildningar.
    Här gäller det att de kontinuerliga avbildningarna mellan två rum AA och BB alltid bildar ett topologiskt rum i sig, där topologin på HomTop(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(A,B) är den något invecklade kompakt-öppen-topologin.

För svårt! Kan du skriva mer bakgrundsinformation? Tex vad en "kategori" är för nåt?

oggih 914 – F.d. Moderator
Postad: 6 sep 2020 19:18

Om du får möjlighet att läsa lite abstrakt algebra någon gång i framtiden kan du prova att återkomma till den här tråden efter det! Att kunna algebra är inte strikt nödvändigt för att lära sig kategoriteori, men det hjälper!

Om du ändå vill nosa lite på kategoriteori redan nu så är bloggposterna på den här sidan en bra början:

https://www.math3ma.com/categories/category-theory.

Qetsiyah 5395 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 10 jun 21:46 Redigerad: 10 jun 21:51

Ett till objekt för vilket detta funkar är moduler!

Skärmbild

oggih 914 – F.d. Moderator
Postad: 10 jun 22:50
Qetsiyah skrev:

Ett till objekt för vilket detta funkar är moduler!

...förutsatt att vi jobbar över en kommutativ ring! ^_^

Över icke-kommutativa ringar kan det hända lite konstiga saker. Vi kan återkomma till den här tråden när du har läst lite mer om ringar och moduler, och så kan vi titta på exakt vad som kan gå fel över en icke-kommutativ ring.

Här är bilden. Det står inte i detta lemma, men i början a kompendiet skrev de att alla ringar skulle antas vara kommutativa, så det gäller antaglien också här!

Svara Avbryt
Close