16 svar
394 visningar
Qetsiyah Online 5809 – Live-hjälpare
Postad: 24 maj 2020 01:16 Redigerad: 24 maj 2020 13:45

Algebra: har hom(A,B) samma struktur som A och B?

Hej, det är en vild gissning. Om mängden homomorfier mellan vektorrum råkar bli ett vektorrum, ja då kanske det även är så att mängden homomorfier mellan ringar kroppar grupper och vad som helst har samma struktur?

(Om A,B är samma typ av struktur)

oggih 976 – F.d. Moderator
Postad: 4 jul 2020 20:22 Redigerad: 5 jul 2020 09:57

Vilken struktur Hom-mängderna i en kategori har (om de ens är mängder!) är en central fråga i kategoriteoretiska sammanhang, som det finns mycket att säga om. Bland annat pratar man om så kallade berikade kategorier, som är ett viktigt begrepp i modern algebra, och som du kan läsa mer om på nLab ifall du vill få ett smakprov av hur kategoriteori (a.k.a. "abstrakt nonsens") ser ut i praktiken. 

Men okej, låt oss nu adressera ursprungsfrågan!

Eftersom du har nämnt att du var lite nyfiken på kategoriteori så kan vi formulera det lite mer precist så här: Låt C\mathcal{C} vara en kategori. Finns det då något "naturligt" (eller kanske snarare: "funktoriellt", men låt oss lämna det därhän tills vidare) sätt att givet två objekt A,BObj(C)A,B\in\mathrm{Obj}(\mathcal{C}) betrakta HomC(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B) som ett objekt i C\mathcal{C}

Svaret på den frågan är i allmänhet nej.

Som motexempel kan vi ta kategorin Ring\mathbf{Ring} av ringar (med multiplikativ identitet) och ringhomomorfier. Till exempel är HomRing(/2,/23)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/23\mathbb{Z}) tom (varför?), medan HomRing(/2,/2)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) enbart består av ett element (återigen: varför?), och det är per definition omöjligt att utrusta den tomma mängden eller en mängd med enbart ett element med en ringstruktur. (Dessa exempel fungerar även i underkategorin av kroppar.)

I vissa kategorier fungerar det dock. Några exempel:

  • Kategorin Set\mathbf{Set} av mängder och avbildningar mellan mängder.
    Givet två två mängder AA och BB så är HomSet(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(A,B) alltid en mängd.
  • Kategorin Vectk\mathbf{Vect}_k av vektorrum över en kropp kk och linjära avbildningar.
    Om VV och WW är två vektorrum över kk, så bildar HomVectk(V,W)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Vect}_k}(V,W) ett vektorrum över kk under punktvis addition och skalning.
  • Kategorin Ab\mathbf{Ab} av abelska (dvs. kommutativa) grupper och grupphomomorfier.
    Om AA och BB är två abelska grupper så bildar HomAb(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ab}}(A,B) en abelsk grupp under punktvis "addition" (eller vad man nu vill kalla gruppoperationen på BB).
    [Följdfråga (kanske får vänta tills du har läst mer abstrakt algebra): Fungerar motsvarande konstruktion även i den större kategorin Grp\mathbf{Grp} av grupper (där man inte begränsar sig till abelska grupper).]
  • Kategorin Top\mathbf{Top} av topologiska rum och kontinuerliga avbildningar.
    Här gäller det att de kontinuerliga avbildningarna mellan två rum AA och BB alltid bildar ett topologiskt rum i sig, där topologin på HomTop(A,B)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(A,B) är den något invecklade kompakt-öppen-topologin.

För svårt! Kan du skriva mer bakgrundsinformation? Tex vad en "kategori" är för nåt?

oggih 976 – F.d. Moderator
Postad: 6 sep 2020 19:18

Om du får möjlighet att läsa lite abstrakt algebra någon gång i framtiden kan du prova att återkomma till den här tråden efter det! Att kunna algebra är inte strikt nödvändigt för att lära sig kategoriteori, men det hjälper!

Om du ändå vill nosa lite på kategoriteori redan nu så är bloggposterna på den här sidan en bra början:

https://www.math3ma.com/categories/category-theory.

Qetsiyah Online 5809 – Live-hjälpare
Postad: 10 jun 2021 21:46 Redigerad: 10 jun 2021 21:51

Ett till objekt för vilket detta funkar är moduler!

Skärmbild

oggih 976 – F.d. Moderator
Postad: 10 jun 2021 22:50
Qetsiyah skrev:

Ett till objekt för vilket detta funkar är moduler!

...förutsatt att vi jobbar över en kommutativ ring! ^_^

Över icke-kommutativa ringar kan det hända lite konstiga saker. Vi kan återkomma till den här tråden när du har läst lite mer om ringar och moduler, och så kan vi titta på exakt vad som kan gå fel över en icke-kommutativ ring.

Här är bilden. Det står inte i detta lemma, men i början a kompendiet skrev de att alla ringar skulle antas vara kommutativa, så det gäller antaglien också här!

BrickTransferUtopia 34
Postad: 26 aug 2021 05:42 Redigerad: 26 aug 2021 05:43

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a). Det finns ingen direkt koppling mellan strukturen av A, B och Hom(A, B), i alla fall ingen som är lätt att skriva upp. 

Det närmaste du kommer en koppling i en allmän kategori är väl Yonedas lemma: för en lokalt liten kategori har du att F=Hom(A,–) bevarar isomorfier på ett naturligt sätt. Om A≅B gäller FA≅FB.

Det räcker med en representativ funktor. D.v.s om y≅F naturligt, gäller det att y bevarar isomorfier: A≅B implicerar yA≅yB. 

BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Men påstår du att det också gäller för moduler över ickekommutativa ringar? 

BrickTransferUtopia 34
Postad: 27 aug 2021 21:16
Qetsiyah skrev:
BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Men påstår du att det också gäller för moduler över ickekommutativa ringar? 

Ja. Torsion och icke-kommutativitet påverkar inte.

oggih 976 – F.d. Moderator
Postad: 27 aug 2021 22:39 Redigerad: 27 aug 2021 22:49
BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Ja. Torsion och icke-kommutativitet påverkar inte.

Riktigt så enkelt är det väl inte? Jag föreslår följande motexempel:

  • Låt (R,+,·)(R,+,\cdot) vara din favorit-icke-kommutativa ring, och låt r,sRr,s\in R vara sådana att r·ss·rr\cdot s\neq s\cdot r
  • Betrakta RR som en RR-modul under multiplikation från vänster.
  • Frågan vi ställer nu är om HomR(R,R)\mathrm{Hom}_R(R,R) verkligen är en RR-modul under skalningsavbildningen R×HomR(R,R)HomR(R,R)R\times\mathrm{Hom}_R(R,R)\to\mathrm{Hom}_R(R,R) med (a,f)a.f(a,f)\mapsto a.f, där (a.f)(x)=a·f(x)(a.f)(x)=a\cdot f(x) för alla xRx\in R.
  • Problemet är att a.fa.f i allmänhet inte ens kommer att vara en RR-linjär avbildning - dvs. a.fa.f kommer inte nödvändigtvis att vara ett element i HomR(R,R)\mathrm{Hom}_R(R,R).
  • Låt f:RRf:R\to R vara identitetsavbildningen (som ju helt uppenbart är en modulhomomorfi). Om vi antar att r.fr.f är en modulhomomorfi så får vi motsägelsen att vi å ena sidan har (r.f)(s)=r·f(s)=r·s(r.f)(s)=r\cdot f(s)=r\cdot s, samtidigt som RR-linjäriteten å andra sidan ger (r.f)(s)=(r.f)(s·1)=s·(r.f)(1)=s·r·f(1)=s·r·1=s·r(r.f)(s)=(r.f)(s\cdot 1)=s\cdot (r.f)(1)=s\cdot r\cdot f(1)=s\cdot r\cdot 1=s\cdot r.
BrickTransferUtopia 34
Postad: 11 okt 2021 22:30 Redigerad: 12 okt 2021 07:40
oggih skrev:
BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Ja. Torsion och icke-kommutativitet påverkar inte.

Riktigt så enkelt är det väl inte? Jag föreslår följande motexempel:

  • Låt (R,+,·)(R,+,\cdot) vara din favorit-icke-kommutativa ring, och låt r,sRr,s\in R vara sådana att r·ss·rr\cdot s\neq s\cdot r
  • Betrakta RR som en RR-modul under multiplikation från vänster.
  • Frågan vi ställer nu är om HomR(R,R)\mathrm{Hom}_R(R,R) verkligen är en RR-modul under skalningsavbildningen R×HomR(R,R)HomR(R,R)R\times\mathrm{Hom}_R(R,R)\to\mathrm{Hom}_R(R,R) med (a,f)a.f(a,f)\mapsto a.f, där (a.f)(x)=a·f(x)(a.f)(x)=a\cdot f(x) för alla xRx\in R.
  • Problemet är att a.fa.f i allmänhet inte ens kommer att vara en RR-linjär avbildning - dvs. a.fa.f kommer inte nödvändigtvis att vara ett element i HomR(R,R)\mathrm{Hom}_R(R,R).
  • Låt f:RRf:R\to R vara identitetsavbildningen (som ju helt uppenbart är en modulhomomorfi). Om vi antar att r.fr.f är en modulhomomorfi så får vi motsägelsen att vi å ena sidan har (r.f)(s)=r·f(s)=r·s(r.f)(s)=r\cdot f(s)=r\cdot s, samtidigt som RR-linjäriteten å andra sidan ger (r.f)(s)=(r.f)(s·1)=s·(r.f)(1)=s·r·f(1)=s·r·1=s·r(r.f)(s)=(r.f)(s\cdot 1)=s\cdot (r.f)(1)=s\cdot r\cdot f(1)=s\cdot r\cdot 1=s\cdot r.

 

Ajdå, det ser ut som ett motexempel. Jag drar tillbaka mitt påstående.

flyttade ut inlägget från citatrutan så det blir enklare att hänga med i diskussionen. /Dracaena

Laguna Online 17558
Postad: 11 okt 2021 22:31

Jag tror Qetsiyah skulle gilla programmeringsspråket Haskell.

Hmm varför säger du det? Haha

Laguna Online 17558
Postad: 11 okt 2021 23:25

Jag tror det är poppis bland kategoriteoretiker och en modell för I/O använder kategorier på nåt för mig helt obegripligt sätt.

Qetsiyah Online 5809 – Live-hjälpare
Postad: 11 okt 2021 23:30 Redigerad: 11 okt 2021 23:31

Ja, jag tänkte lära mig det nån gång för att nån sa till mig att jag skulle gilla ett funktionellt programmeringsspråk, blev aldrig av.

oggih 976 – F.d. Moderator
Postad: 12 okt 2021 01:40

Har också hört bra saker om Haskell av kategoriteoretiskt sinnade matematiker i min omgivning! En av många resurser som sägs vara bra för att komma igång är den här kursen:

https://www.cis.upenn.edu/~cis194/spring13/lectures/01-intro.html.

Svara Avbryt
Close