1 svar
145 visningar
Albiki 5320
Postad: 7 sep 2020 20:10 Redigerad: 7 sep 2020 20:12

Algebrans fundamentalsats

Sats: Varje polynomfunktion vars koefficienter är komplexa tal har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Bevis. Låt P(z)=c0+c1z++cnznP(z) = c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n vara en polynomfunktion där koefficienterna ckc_k är komplexa tal och där heltalet n1n\geq 1.

Anta att PP saknar nollställen bland de komplexa talen.

Då är 1P\frac{1}{P} en komplexvärd funktion som är hel över de komplexa talen; den är även begränsad eftersom |P(z)|>1|P(z)| > 1 om |z||z| är tillräckligt stor. Enligt Liouvilles sats är denna funktion konstant, vilket medför att även polynomfunktionen PP är konstant. Detta är en motsägelse eftersom n1.n\geq 1.

oggih 871 – F.d. Moderator
Postad: 19 sep 2020 14:10

Ett fantastiskt viktigt resultat, och ett elegant bevis!

Här här en mer topologisk bevisstrategi: http://weitz.de/fund/.

Svara Avbryt
Close