25 svar
295 visningar
Kanelbullen är nöjd med hjälpen
Kanelbullen 396
Postad: 8 dec 2019 14:45

Alla lösningar till differentialekvation y´(x)=y^2 (x)+4y(x)-5

Jag ska bestämma alla lösningar till differentialekvationen

y´(x)=y2(x)+4y(x)-5.

 

Inledningsvis har jag några frågor för att hitta rätt i kurslitteraturen:

  • Är denna differentialekvation av första ordningen eller av andra ordningen? (Jag tror att den är av första ordningen eftersom vi har y prim och inte y bis...)
  • Är den i en eller två variabler? (Antar att det är en eftersom vi har y'(x)=...
  • Av vilken typ är differentialekvationen? Homogen, linjär, ordinär, partiell eller separabel?
Dr. G 6655
Postad: 8 dec 2019 15:00

Första ordningen, då högsta grad av derivata är 1.

En oberoende variabel, så det blir väl egentligen två variabler. En definitionsfråga.

Inhomogen, ickelinjär, ordinär och separabel.  Man skulle även kunna lägga till t.ex "autonom".

Kanelbullen 396
Postad: 8 dec 2019 16:20 Redigerad: 8 dec 2019 16:23

Tack så mycket Dr. G 

Då har jag något att utgå från till att börja med.

 

Angående detta med en eller två variabler. Det är en oberoende variabel, y, eller hur?

Kommer jag att kunna lösa ut y, eller kommer y att förbli okänd?

Trinity2 203
Postad: 8 dec 2019 16:26

Riccatis ekvation.

Smaragdalena 54758 – Lärare
Postad: 8 dec 2019 18:03

Angående detta med en eller två variabler. Det är en oberoende variabel, y, eller hur?

Kommer jag att kunna lösa ut y, eller kommer y att förbli okänd?

Nej, du söker en funktion y(x). Då är x oberoende variabel, och y(x) är beroende variabel.

Laguna 14637
Postad: 8 dec 2019 20:09
Trinity2 skrev:

Riccatis ekvation.

Ja, men ett fall som inte kräver några speciella trick.

Trinity2 203
Postad: 8 dec 2019 20:12

Uppgiften "borde" vara benämnd så att den intresserade kunde se närmare på Riccati. Man kanske inte gör så idag i böckerna.

Kanelbullen 396
Postad: 8 dec 2019 22:16 Redigerad: 8 dec 2019 22:32
Smaragdalena skrev:

Angående detta med en eller två variabler. Det är en oberoende variabel, y, eller hur?

Kommer jag att kunna lösa ut y, eller kommer y att förbli okänd?

Nej, du söker en funktion y(x). Då är x oberoende variabel, och y(x) är beroende variabel.

Ja, naturligtvis är y(x) den beroende variabeln och x är den oberoende variabeln.

Jag trasslade till det.

Intressant med Riccatis ekvation, det ska jag titta närmare på.

Kanelbullen 396
Postad: 11 dec 2019 11:17 Redigerad: 11 dec 2019 11:17

På kursen jag går skulle vi inte använda Riccatis ekvation utan i stället metoden separation av variabler har jag fått veta.

dr_lund 1213
Postad: 11 dec 2019 11:20 Redigerad: 11 dec 2019 11:28

dydx=y2+4y-5\dfrac{dy}{dx}=y^2+4y-5

dydx=(y-1)(y+5)\dfrac{dy}{dx}=(y-1)(y+5)
Separabel

dy(y-1)(y+5)=dx\dfrac{dy}{(y-1)(y+5)}=dx
Partialbråk i VL osv

Trinity2 203
Postad: 11 dec 2019 11:21

Ja, går bra. Riccati är bara en utvidgning.

Kanelbullen 396
Postad: 15 dec 2019 15:13

Kanelbullen 396
Postad: 18 dec 2019 10:24

Ska jag multiplicera in 6 i nämnaren?

Hur gör jag nu för att komma vidare med likheten?

Kanelbullen 396
Postad: 4 jan 2020 15:23 Redigerad: 4 jan 2020 16:12

Jag har separerat variablerna.

Ska jag integrera båda leden nu?

 

Kan det vara en fördel att multiplicera in 6 i parenteserna i mina nämnare först?

HL = x + C efter integreringen (eller närmare bestämt så är det den primitiva funktionen av 1)

VL = ...

...

När jag fått y ensamt i VL kan jag undersöka värdet när x = 0, dvs y(0), men i denna uppgift har jag inte något begynnelsevillkor, utan jag ska presentera ALLA lösningar. Hur ska jag då gå tillväga? Hur menar den som formulerat problemet egentligen?

dioid 181
Postad: 4 jan 2020 21:14

Jag skulle flytta över 6 till HL men uppgiften frågar ju inte efter en lösning, eller? Du har redan svar på frågorna. Antal variabler är oberoende variabler, dvs en.

Kanelbullen 396
Postad: 4 jan 2020 22:07 Redigerad: 4 jan 2020 22:13

Tack dioid!

Om jag multiplicerar varje faktor med 6 får jag därmed

Stämmer det?

 

Uppgiften är att bestämma alla lösningar till differentialekvationen y´(x)=y2(x)+4y(x)-5. Inte en lösning. Men i många exempel som jag tittat på så ska man lösa differentialekvationen för ett speciellt värde på x.

Hur menar du när du skriver att jag redan har svar på frågorna?

Jag har fått svar på mina frågor i tråden, ja! Men jag har ju fortfarande inte lyckats lösa uppgiften, så jag frågar vidare :-)

dioid 181
Postad: 4 jan 2020 22:15

Jag menade alla frågor i tråden, men ja, det stämmer.

Kanelbullen 396
Postad: 4 jan 2020 23:00 Redigerad: 4 jan 2020 23:02

Nu gör jag integralberäkningen på 

1y-1-1y+5 dy= 6 dx 

och får

lny-1 - lny+5 = 6x +C.

Är det rätt? Och hur ska jag få veta vad y = .... ?

dioid 181
Postad: 4 jan 2020 23:05

Verkat bra, sen andragradsekvation och falluppdelning. ln(a) - ln(b) = ln(a/b) och e^C brukar bli godtycklig konstant D, osv.

Kanelbullen 396
Postad: 4 jan 2020 23:16

lny-1-lny+5 lny-1y+5, det är jag med på!

Och falluppdelning beroende på om vad som finns innanför absolutbeloppstecknen, ja.

Men sedan förstod jag inte riktigt. Är det en andragradsekvation som jag ska beräkna?

Hur kommer e^C in i bilden? Kommer det att bli två godtyckliga konstanter i och med att vi har en andragradare?

dioid 181
Postad: 4 jan 2020 23:22 Redigerad: 5 jan 2020 00:02

Jag tänkte att det blir en andragradsekvation för att lösa ut y som funktion av x. Sen kommer e^C innan då du tar exp av bägge leden men med gängse flum (eller kolla noga) så blir e^C inte bara en positiv konstant utan godtycklig konstant (pos, neg eller noll). Jag har inte kollat detaljerna går bara på intuition.

Kanelbullen 396
Postad: 4 jan 2020 23:31

Tack dioid

Kanelbullen 396
Postad: 5 jan 2020 16:10

Hej!

Nu har jag tittat på inom vilka intervall, för vilka värden på y, som ln y-1y+5+ C är en primitiv funktion.

Jag har fått fram att det gäller för y<-5,  1<y<5 och y>5.

Verkar jag ha gjort rätt nedan? Och vad gör jag nu med denna vetskap?

Jag förstår att jag nu ska lösa ut y som en funktion av x, enligt dioid. Men hur?

Och sedan ska jag även "ta exp av bägge leden".  Ska jag då sätta e som bas och höja upp den primitiva funktionen som jag fått fram? Jag blir osäker på hur jag ska göra. Blir HL då e6x + eC ?

Kanelbullen 396
Postad: 5 jan 2020 16:15

Eller skulle jag lösa ut y först?

Jag behövde väl veta först för vilka y som uttrycket i VL är en primitiv funktion?

Affe Jkpg 6796
Postad: 5 jan 2020 18:15

Jag har fått fram att det gäller för y < −5,  1 < y < 5 och y > 5

Hur tänker du om y = 5 ?

Kanelbullen 396
Postad: 5 jan 2020 20:22 Redigerad: 5 jan 2020 21:32
Affe Jkpg skrev:

Jag har fått fram att det gäller för y < −5,  1 < y < 5 och y > 5

Hur tänker du om y = 5 ?

Tack! Jag blandade ihop det.

y kan inte vara 1 för då blir täljaren noll.

(Jag tänkte felaktigt att täljaren var |y-5|)

Så då är det ok att y=5. Jag gjorde även flera andra fel. Nu har jag rättat och det blev så här:

Svara Avbryt
Close