Amperes lag vs Biot Savarts lag

Anta att vi har en ändligt lång ledare med strömmen I och vi vill bestämma magnetfältets styrka på avståndet r från ledaren.

 

Från Amperes lag får vi att:

$$\begin{gathered} \oint \stackrel{\rightharpoonup }{B}·d\stackrel{\rightharpoonup }{l}= \mu I =B·2\pi r \\ \Rightarrow B=\frac{\mu I}{2\pi r} \end{gathered}$$

Men från Biot Savarts lag har vi att:

$$\begin{gathered} dB = \frac{\mu I}{4\pi }·\frac{dl·\sin \theta }{R^2} \\ \Rightarrow B\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\mu I}{4\pi }·\frac{1}{r^2}\frac{2a}{\sqrt{a^2+r^2}} \end{gathered}$$

Där a är längden på ledaren.

 

Varför skiljer sig dessa? Utrycket från amperes lag blir ju samma om man låter ledaren vara oändligt lång i Biot Savart, är Amperes lag inte helt korrekt?