Analys av En Variabel - Gränsvärde, Asymptoter - Hyperbel

Informellt så kan man resonera att för stora x (|x| >> a) så har du differensen mellan två stora tal, som ska vara 1. (Stora x leder automatiskt till |y| >> b, då differensen ska vara 1.) Om du fixerar ett stort x-värde så kommer y-värdet bara att ändras lite om du antar att skillnaden ska bli 0 istället för 1. 

Alltså har man för stora x (och då stora y) att 

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\approx 0$

Det går att visa detta med mindre handviftande än ovan. 

Dr. G skrev:

Informellt så kan man resonera att för stora x (|x| >> a) så har du differensen mellan två stora tal, som ska vara 1. (Stora x leder automatiskt till |y| >> b, då differensen ska vara 1.) Om du fixerar ett stort x-värde så kommer y-värdet bara att ändras lite om du antar att skillnaden ska bli 0 istället för 1. 

Alltså har man för stora x (och då stora y) att 

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\approx 0$

Det går att visa detta med mindre handviftande än ovan. 

Okej, bara för att sätta siffror i själva förklaringen...

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$kan tolkas med siffror som$\frac{1000}{10}-\frac{891}{9}=1$, där villkor $\left|x^2\right|\gg a^2$& $\left|y^2\right|\gg b^2$uppfylls, har jag förstått rätt så länge? 

Och nu om vi har att x närmar sig oändligheten så måste y också närma sig oändligheten väl? Borde inte det innebära att om båda växer åt samma håll så måste differensen vara 1 ändå? 

Jag skulle tänka mig att$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= C$ och om vi vill få C att närma sig 0 så måste $\frac{y^2}{b^2}\to \frac{x^2}{a^2}$ så att vi får något som $a-a=0$ ?? 

eller jag förstår inte, skulle du kunna förklara mer den här delen:

Om du fixerar ett stort x-värde så kommer y-värdet bara att ändras lite om du antar att skillnaden ska bli 0 istället för 1. 

Jag hänger inte riktigt med på facits lösning. För klurig för min hjärna. Men så här tänkte jag.

Vi kan ansätta att asymptoten är y = kx + m. Vi sätter in detta i vår ekvation och kräver att ekvationen skall vara uppfylld för stora värden på x.

$\frac{b^2}{a^2}{x}^2-{\left(kx+m\right)}^2=b^2$

$x^2\left(\frac{b^2}{a^2}-k^2\right)-2kmx-m^2 = b^2$, dela med $x^2$.

$\frac{b^2}{a^2}-k^2-\frac{2km}{x}=\frac{b^2}{x^2}$, detta blir uppfyllt för stora x om och endast om $k^2=\frac{b^2}{a^2}$.

Med utnyttjande av detta så blir vår ekvation

$-2kmx-m^2=b^2$, dela med x.

$-2mk-\frac{m^2}{x}=\frac{b^2}{x}$, detta blir uppfyllt för stora x endast om m = 0.

Således har vi att $k=\pm \frac{b}{a}$ och m = 0.

PATENTERAMERA skrev:

Jag hänger inte riktigt med på facits lösning. För klurig för min hjärna. Men så här tänkte jag.

Vi kan ansätta att asymptoten är y = kx + m. Vi sätter in detta i vår ekvation och kräver att ekvationen skall vara uppfylld för stora värden på x.

$\frac{b^2}{a^2}{x}^2-{\left(kx+m\right)}^2=b^2$

$x^2\left(\frac{b^2}{a^2}-k^2\right)-2kmx-m^2 = b^2$, dela med $x^2$.

$\frac{b^2}{a^2}-k^2-\frac{2km}{x}=\frac{b^2}{x^2}$, detta blir uppfyllt för stora x om och endast om $k^2=\frac{b^2}{a^2}$.

Med utnyttjande av detta så blir vår ekvation

$-2kmx-m^2=b^2$, dela med x.

$-2mk-\frac{m^2}{x}=\frac{b^2}{x}$, detta blir uppfyllt för stora x endast om m = 0.

Således har vi att $k=\pm \frac{b}{a}$ och m = 0.

Jag förstår inte riktigt men jag kan börja fråga på i sånna fall...

$\frac{b^2}{a^2}{x}^2-{\left(kx+m\right)}^2=b^2$

Varför har vi allt upphöjd till två?

En till fråga: Ska detta föreställa följande definition: "En rätt linje y=ax+b kallas asymptot till kurvan $y=f\left(x\right)$då $x\to +\infty$om $f\left(x\right)-(ax+b)\to 0$ då $x\to \infty$"

Vi har ju hyperbeln

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

I detta sätter jag in vår ansats för asymptoten: y = kx + m, och sedan multiplicerar jag båda led med b².

Sedan är det som du säger att ekvationen skall vara uppfylld för stora x, dvs då vi låter x gå mot oändlighet. Det innebär ju att för stora x så ligger asymptoten i stort sett på hyperbeln, eller om man så vill, hyperbeln beter sig som den räta linjen y = kx + m för stora x.

Du kan undersöka på samma sätt vad som händer om du låter x gå mot negativa oändligheten.

Eftersom hyperbeln inte beskriver grafen till en funktion så kan du inte direkt använda den klassiska definitionen av en asymptot.

Men du kan beskriva hyperbeln med två funktioner genom att lösa ut y ur formeln.

$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$, där du får en funktion för plustecknet och en funktion för minustecknet. Du kan undersöka möjliga asymptoter för varje funktion för sig med någon standardmetod.

Facits lösning kommer från att bestämma asymptoterna genom rektangeln vilken är inskriven i centrum av den. Den har sidorna 2a och 2b så hörnen $(\pm a, \pm b)$ ger asymptoterna.