Analys i En Variabel - Gränsvärde

Beräkna gränsvärde:

$\lim_{x \to 0} \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x}$

Min försök på att lösa gränsvärden:

Först försökte jag använda mig av variabelbytte men jag kände att den tog mig någonstans..

$\lim_{x \to 0} \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x} \Rightarrow$ låt $[a r c \tan (2 x) = t] \to 0 d å x \to 0 ∴ [x = \tan (2 t)] \to 0 d å x \to 0$

vi får då: $\lim_{t \to 0} \frac{a r c \tan (2 (\tan 2 t))}{3 (\tan 2 t)}$ och jag tror inte den skulle ta mig någonstans...

Sen försökte jag att använda mig av squeeze theorem men jag fick ingen bra svar heller där...

$[- \frac{π}{2} \leq a r c \tan (2 x) \leq \frac{π}{2}] \times \frac{1}{3 x} \Leftrightarrow - \frac{π}{6 x} \leq \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x} \leq \frac{π}{6 x} ∴ \lim_{x \to 0} - \frac{π}{6 x} \leq \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x} \leq \lim_{x \to 0} \frac{π}{6 x} = 0 \leq \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x} \leq 0 ∴ \lim_{x \to 0} \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x} = 0$

men det stämmer inte ... Kan någon peka ut vad jag bör göra??

Jag kan dessvärre inte, men jag kan åtminstone resonera:

Jag kände mig inspirerad av ditt försök som ledde till att x bestod av ett uttryck som innehöll tangens av den nya variabeln t. arcustangens på tangens tar ju ut varandra. Därför prövade jag:

$2 x = \tan (t)$

vilket även ger

$x = \frac{\tan (t)}{2}$

Då x går mot 0 borde t gå mot arcustangens av 0, dvs. mot 0 också.

Sätter man in detta i uttrycket så får man

$\lim_{t \to 0} \frac{a r c \tan (\tan (t))}{3 * (\frac{\tan (t)}{2})} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\frac{3}{2} * \tan (t)} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{3} * \frac{t}{\tan (t)}$

Jag vet inte om man kan säga något om $\lim_{t \to 0} \frac{t}{\tan (t)}$ .

Tan = sin / cos och sin(t) / t är ett standardgränsvärde. Kommer ni vidare med detta?

creamhog skrev:
Tan = sin / cos och sinx / x är ett standardgränsvärde. Kommer ni vidare med detta?

Det är arctangens i täljaren dock, inte tangens. :/

Smutstvätt skrev:
creamhog skrev:
Tan = sin / cos och sinx / x är ett standardgränsvärde. Kommer ni vidare med detta?

Det är arctangens i täljaren dock, inte tangens. :/

Jag menade efter Bedinsis variabelbyte.

Ah, det borde jag ha fattat! Jag ber om ursäkt. :)

Bedinsis skrev:
Jag kan dessvärre inte, men jag kan åtminstone resonera:

Jag kände mig inspirerad av ditt försök som ledde till att x bestod av ett uttryck som innehöll tangens av den nya variabeln t. arcustangens på tangens tar ju ut varandra. Därför prövade jag:

$2 x = \tan (t)$

vilket även ger

$x = \frac{\tan (t)}{2}$

Då x går mot 0 borde t gå mot arcustangens av 0, dvs. mot 0 också.

Sätter man in detta i uttrycket så får man

$\lim_{t \to 0} \frac{a r c \tan (\tan (t))}{3 * (\frac{\tan (t)}{2})} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\frac{3}{2} * \tan (t)} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{3} * \frac{t}{\tan (t)}$

Jag vet inte om man kan säga något om $\lim_{t \to 0} \frac{t}{\tan (t)}$ .

Åh! Kommer att testa med den, tack så mycket!!

Svara

Visa senaste svar