Analys: metriska rum en generalisering av R?

Topologiska vektorrum?

Vadå?

Det finns något som heter topologiska rum, som är i ”någon mening” en generalisering av metriska rum.

Man kan definiera tex kontinuitet och gränsvärdesprocesser på dessa rum utan att införa en metrik.

Åh! Analys på topologiska vektorrum alltså? Det låter väldigt omöjligt, men det är säkert möjligt. Jag googlade analysis on non metric spaces och fick inget svar, är min fråga fel formulerad?

Nej, man kan visa att det finns topologiska rum där topologin inte kan genereras av en metrik. Men jag är verkligen ingen expert på detta. Så vi får hoppas att någon matematiker kan fylla på med mer här.

Vad för fråga svarar du på nu?

Kanske bättre att söka på non-metrizable spaces.

Jaha minsann, jag tänker jag söka samma med andra saker, som en inre produkt

En av grunderna i analys är definitionen av gränsvärde. Den innehåller en massa uttryck i stil med $\delta>|x-a|$.

När vi befinner oss bland de reella talen så är alltså $|a-x|$ absolutbeloppet för $a-x$. Ett annat sätt att tolka absolutbeloppet är i termer av avstånd, där $|a-b|$ tolkas som avståndet från a till b. Det innebär att vi kan definiera gränsvärde sålänge vi har ett vettigt avståndsbegrepp. Man formaliserar detta genom att faktiskt tala om vad ett vettigt avståndsbegrepp är (något som uppfyller reglerna för en metrik), och kan därmed prata om gränsvärden i metriska rum. Har man gränsvärden så har man kontinuitet och då kan vi prata om kontinuerliga funktioner mellan metriska rum (som t.ex. vektorrum med normer).

Om man vill ta ytterligare ett steg så kan man introducera topologiska rum. Vagt sett så bygger det på att våra tidigare uttryck , t.ex. $\delta>|x-a|$ kan omformuleras i termer av öppna mängder (på R blir det alltså öppna intervall). Då kan vi istället för att prata om avstånd, definiera allting (gränsvärde etc) i termer av de öppna mängderna. De öppna mängderna är vad som kallas ett rums topologi (och ska också uppfylla några regler). Har man ett metriskt rum så får man de öppna mängderna från metriken, men det finns topologiska rum som inte kan komma från någon metrik.

Okej så kan du definiera gränsvärde i nåt topologiskt rum här och nu?

Ja, om du har en följd punkter $x_k$ (dvs $x_1,x_2,x_3,...$) så konvergerar denna punktföljd mot punkten p om det för varje öppet område O som p ligger i finns ett N så att om n>N så ligger $x_n$ i O.

Definitionen på kontinuitet blir väldigt elegant med öppna mängder. En funktion mellan två topologiska rum är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd är öppen.

Så om vi har ett väldigt strukturerat rum, tex Rn, kan vi ignorera metriken som vi har och definiera ett gränsvärde med hjälp av öppna mängder istället?

Japp, fast topologiska rum har egentligen mindre struktur än metriska. Alla metriska rum är topologiska rum men inte tvärsom.

Asså ja, det visste jag och det var därför jag frågade! Eller varför säger du det?

Så vad händer när vi definierar gränsvärde (kan passa på att omdefiniera många andra saker också) på detta topologiskt-rum-style-sätt fast vi inte behöver det? Du säger att defintionen av kontinuitet blir elegant, men allt annat då? Blir det krångligare?

Men, hallå, jag har ju redan frågat detta https://www.pluggakuten.se/trad/analysens-grunder-brakar-allt-om-rummet-inte-ar-metriskt/

Emmynother svarade nej, hade hon fel då?

Vissa satser och koncept visar sig lättare att uttrycka, t.ex. idéer som sammanhängande. När man inte har metrisk längre så kommer det dock en del underligheter på köpet. I topologiska rum kan det exempelvis hända att följder konvergerar mot flera olika punkter samtidigt.

Inte egentligen, Emmynother sa att man behöver metriska rum för att kunna prata derivata (vilket grovt sett är sant). Däremot kontinuitet så räcker topologiska rum. I princip så skulle man kunna säga att topologi är just studiet av egenskaper som bevaras av kontinuerliga funktioner.

Jaha, jag trodde att eftersom du sa att man kunde definiera gränsvärde i ett ickemetriskt rum så skulle derivatan också finnas. Kan du utveckla lite när du säger "grovt sett"? Jag vill väldigt gärna veta.

Och integralen då?

I topologiska rum kan det exempelvis hända att följder konvergerar mot flera olika punkter samtidigt.

Ojojoj vad exotiskt, kan du avslöja fler konstiga konsekvenser?

I definitioner av derivata så har man ofta något i stil med $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Här skulle vi alltså gärna dividera med h. Då behövs extra struktur. Ett sätt att hantera det är att titta på såkallade släta mångfalder (en av de viktigaste objekten i topologi). Det är objekt som fångar idéen med kurvor, ytor odyl. I definitionen av mångfald så ingår det att den lokalt ska se ut som R^n. Exempelvis så är en cirkel en mångfald då den ser ut som R när man tittar närmare på den.

Eftersom definitionen av derivata är rätt lokal så kan vi se det som en funktion från R^n istället (man får fundera litegrann på vad som händer när man tittar på olika punkter, men det är mer invecklat). Då går det att definiera derivata som vanligt. Sedan så finns det en sats (Whitney embedding theorem) att sådana mångfalder alltid går att placera i någon R^m, exempelvis så kan vi placera cirkeln i R^2. Då kan vi använda metriken därifrån och ge den en metrik.

Så om man har en slät mångfald så kan man alltid ge den en metrik, dvs man kan se den som ett metriskt rum. Grovt sett är här att metriken då egentligen är mer av en efterkonstruktion.

Åh...kej...

 I princip så skulle man kunna säga att topologi är just studiet av egenskaper som bevaras av kontinuerliga funktioner.

Det här tycker jag faktiskt makes mycket sense.