9 svar
192 visningar
Qetsiyah är nöjd med hjälpen
Qetsiyah 5285 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 4 jan 2020 01:06 Redigerad: 4 jan 2020 01:07

Analys: om en funktion är glatt så kan den inte vara olinjär sedan linjär?

Hej, jag plottade rot(andragradspolynom) och fann att grafen såg rät ut. Men för små y var den inte rät. Därför vill jag fråga om den grafen på något intervall är linjärt?

Och mer allmänt, kan en graf gå från att vara olinjär till linjär och vara glatt?

Min förmodan är: nej.

Ebola 2109
Postad: 4 jan 2020 01:34 Redigerad: 4 jan 2020 01:36

Jag skulle säga enbart approximativt. Möjligtvis till godtycklig noggrannhet men fortfarande approximativt. Det som händer är att om du har:

f(x)=x2+bx+c

Uppträder denna funktionen för stora x som en linjär funktion:

f(x)x2=x

Detta har du säkert sett när du analyserat kägelsnitt i form av en hyperbel och deras sneda asymptoter. I specialfallet när du har en andragradare som kan skrivas på formen (x+a)2 kommer den alltid uppträda linjärt för x>-a och x<-a eftersom vi får:

f(x)=x+a

emmynoether 844
Postad: 4 jan 2020 11:35 Redigerad: 4 jan 2020 11:44

Du kan ju enkelt verifiera detta själv. Skriv ned f(x)=ax2+bx+cf(x)= \sqrt{ax^2+bx+c} och derivera sedan detta. Är derivatan konstant i något intervall? Om ja, då är funktionen linjär där. Om nej, ... .

EDIT: I det allmänna fallet kan jag faktiskt inte komma på ett enda exempel. Min första tanke var en styckvis definierad funktion, men det borde inte funka. Om den är linjär någonstans så måste den, som högst, vara ett förstagradspolynom, medan en icke-linjär måst ha en taylorutveckling till som minst andra ordningen. Alltså kommer det aldrig vara kontinuerligt deriverbart i andra ordningen.

TobbeR 42
Postad: 4 jan 2020 11:54 Redigerad: 4 jan 2020 17:02

Jag kanske har ett svar på frågan huruvida en graf i allmänhet kan gå från att vara olinjär till linjär men fortfarande glatt. Har hittat ett exempel som jag tror uppfyller detta.

Betrakta funktionen

f(x)=x,x0f(x)=x, x \geq 0

och

f(x)=x+e1x,x<0f(x) = x + e^{\frac{1}{x}}, x < 0

Vi har ju här en funktion som är linjär för x0x\geq0 och ickelinjär för x<0x<0. Om vi nu deriverar denna funktion får vi två fall

1. x0x\geq0

Första derivatan här blir ju 1 och alla följande är 0 för alla xx.

2. x<0x<0

Första derivatan blir

ddxx+e1x=1-e1xx2\frac{d}{dx} x+e^{\frac{1}{x}}=1-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}

Där vi har att

limx0-1-e1xx2=1\lim_{x \to 0^-} 1-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} = 1

Vi kan ju också observera att kommande derivatator kommer alla att vara på formen

e1xp(x)q(x)e^{\frac{1}{x}} \frac{p(x)}{q(x)}

där pp och qq  är polynom och  qq har högre grad. Dessa fås ju av att applicera produkt eller kvotregeln på termen e1xx2\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}.

Alla dessa kommande derivator kommer också att ha ett gränsvärde

limx0-dndxnf(x)=0,n>1\lim_{x\to0^-} \frac{d^n}{dx^n} f(x)=0, n > 1

Alltså är ju funktionen då oändligt deriverbar då alla derivator har samma gränsvärde för x=0x=0.

Kan vara så att jag har gjort något fel och att denna funktion inte alls fungerar!

emmynoether 844
Postad: 4 jan 2020 12:18

Jag kan faktiskt inte hitta någonting som är fel med logiken, det ser ut att fungera.

dioid 181
Postad: 4 jan 2020 23:18

Det fungerar, man skulle egentligen kolla derivatan för x = 0 med definitionen av derivata snarare än gränsvärden för derivatorna då x -> 0 men det är mer av en teknikalitet.

Qetsiyah 5285 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 19 dec 2020 01:55 Redigerad: 19 dec 2020 01:58

Missar lite på min originalfrågeställning, men är nästan ännu coolare som är linjär olinjär och linjär, dock mindre cool då den är konstant istället.

En sak som svarar på min fråga väldigt bra är ”testfunktioner”, som är släta funktioner med kompakt stöd. Stöd (för reellvärda funktioner) betyder delmångder av R där funktionen inte antar värdet noll.

Per definition kommer alltså funktionen vara linjär (konstant) utanför sitt stöd och olinjär i sitt stöd!


Hittad i Introduction to Hilbert Spaces with applications av Debnath:

JohanB 159 – Lärare
Postad: 1 feb 09:41

Denna fråga är mer spännande i komplex analys, där ger linearitet (i meningen "az+b") lokalt även linearitet globalt.

Qetsiyah 5285 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 1 feb 20:13 Redigerad: 1 feb 20:14

Kan du utveckla? Går det inte att styckvis definiera komplexa funktioner?

Svara Avbryt
Close