Analys, vet inte om rätt

$$\begin{gathered} f^n(x+\frac{1}{n}) \\ f\left(\right(x+\frac{1}{n}{)}^n) \end{gathered}$$

Ryszard skrev:

Hej! 

Jag undrar om någon skulle kunna säga om mitt bevis är korrekt eller inte :)

Fråga:"Låt $f$ vara kontinuerlig på $\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$ och $f\left(0\right)=f\left(1\right)$. Bevisa att om $n$ är ett godtyckligt naturligt heltal $\left\{1,2,3,4...\right\}$ så finns det ett reellt $x$ i $\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$ för vilket $f\left(x\right)=f(x+\frac{1}{n})$"

Mitt försök

Definiera $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f(x+\frac{1}{n})$. 

I din definition av funktionen g har du inte sagt om x är det speciella reella tal som söks eller ej, och du har inte heller sagt om n är ett fixerat naturligt tal eller ej. Det är bättre om du använder en annan symbol än x och att du säger att n är ett godtyckligt fixerat naturligt tal. Egentligen borde då funktionen g ha ett index på sig för att betona att dess koppling till det naturliga talet n.

Varför låter du definitionsmängden till funktionen g vara intervallet från noll till (n-1)/n?

Du vet inte om funktionen g är deriverbar på något intervall, så Medelvärdessatsen kan ej tillämpas. Däremot bör Satsen om mellanliggande värden (Bolzano-Weierstrass sats) kunna användas på lämpligt sätt. 

Då följer det att  $g$ kontinuerlig eftersom $f$ är det och $g$ är definierad för x i $\left[\begin{array}{cc}0& \frac{n-1}{n}\end{array}\right]$ . 

 

Att det finns ett $x$ för att likheten $f\left(x\right)=f(x+\frac{1}{n})$ ska stämma, blir då ekvivalent med att $g\left(x\right)=0$ för ett $x$ i ett intervall med längden $\frac{1}{n}$.

Det vill säga för ett $a$ med $0\le a\le \frac{n-2}{n}$ så ska $g\left(x\right)=0$ på intervallet $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$

Låt oss säga att för ett arbiträrt $n$ så är $g\left(x\right)\ne 0$ oavsett val av $a$

Vilket betyder oavsett vilket $a$ så har vi $g\left(x\right)>0$eller $g\left(x\right)<0$ , eftersom att om g är kontinuerlig på $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$kan vi inte (på grund av (medelvärdessatsen?) Intermediate Value Theorem) ha $g\left(a\right)<0<g(a+\frac{1}{n})$ eftersom då skulle vi ha ett $x$ i $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$så att $g\left(x\right)=0$. Därför måste vi ha $g\left(x\right)>0$ eller $g\left(x\right)<0$ för alla $a$

Men att $g\left(0\right)>0$ är samma sak som $f\left(0\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)>0\iff f\left(0\right)>f\left(\frac{1}{n}\right)$ . Också $g\left(\frac{1}{n}\right)>0$ blir $f\left(\frac{1}{n}\right)>f\left(\frac{2}{n}\right)$

och fortsätter vi hela vägen till $g\left(\frac{n-1}{n}\right)>0$ får vi $f\left(\frac{n-1}{n}\right)>f\left(1\right)$. Men då har vi en motsägelse eftersom att $f\left(1\right)=f\left(0\right)$. Därför måste vi ha $g\left(x\right)=0$ för ett $x$ i $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$ för något $a$

PS. argumentet med $g\left(x\right)<0$ är likadant så skriver inte ut det

Affe Jkpg skrev:

$$\begin{gathered} f^n(x+\frac{1}{n}) \\ f\left(\right(x+\frac{1}{n}{)}^n) \end{gathered}$$

 Hej! är det derivatan du syftar på? Det är nämligen så att frågan kommer före kapitlet med derivata så den ska gå att lösa utan

Albiki skrev:

Ryszard skrev:

Hej! 

Jag undrar om någon skulle kunna säga om mitt bevis är korrekt eller inte :)

Fråga:"Låt $f$ vara kontinuerlig på $\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$ och $f\left(0\right)=f\left(1\right)$. Bevisa att om $n$ är ett godtyckligt naturligt heltal $\left\{1,2,3,4...\right\}$ så finns det ett reellt $x$ i $\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$ för vilket $f\left(x\right)=f(x+\frac{1}{n})$"

Mitt försök

Definiera $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f(x+\frac{1}{n})$. 

I din definition av funktionen g har du inte sagt om x är det speciella reella tal som söks eller ej, och du har inte heller sagt om n är ett fixerat naturligt tal eller ej. Det är bättre om du använder en annan symbol än x och att du säger att n är ett godtyckligt fixerat naturligt tal. Egentligen borde då funktionen g ha ett index på sig för att betona att dess koppling till det naturliga talet n.

Varför låter du definitionsmängden till funktionen g vara intervallet från noll till (n-1)/n?

Du vet inte om funktionen g är deriverbar på något intervall, så Medelvärdessatsen kan ej tillämpas. Däremot bör Satsen om mellanliggande värden (Bolzano-Weierstrass sats) kunna användas på lämpligt sätt. 

Då följer det att  $g$ kontinuerlig eftersom $f$ är det och $g$ är definierad för x i $\left[\begin{array}{cc}0& \frac{n-1}{n}\end{array}\right]$ . 

 

Att det finns ett $x$ för att likheten $f\left(x\right)=f(x+\frac{1}{n})$ ska stämma, blir då ekvivalent med att $g\left(x\right)=0$ för ett $x$ i ett intervall med längden $\frac{1}{n}$.

Det vill säga för ett $a$ med $0\le a\le \frac{n-2}{n}$ så ska $g\left(x\right)=0$ på intervallet $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$

Låt oss säga att för ett arbiträrt $n$ så är $g\left(x\right)\ne 0$ oavsett val av $a$

Vilket betyder oavsett vilket $a$ så har vi $g\left(x\right)>0$eller $g\left(x\right)<0$ , eftersom att om g är kontinuerlig på $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$kan vi inte (på grund av (medelvärdessatsen?) Intermediate Value Theorem) ha $g\left(a\right)<0<g(a+\frac{1}{n})$ eftersom då skulle vi ha ett $x$ i $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$så att $g\left(x\right)=0$. Därför måste vi ha $g\left(x\right)>0$ eller $g\left(x\right)<0$ för alla $a$

Men att $g\left(0\right)>0$ är samma sak som $f\left(0\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)>0\iff f\left(0\right)>f\left(\frac{1}{n}\right)$ . Också $g\left(\frac{1}{n}\right)>0$ blir $f\left(\frac{1}{n}\right)>f\left(\frac{2}{n}\right)$

och fortsätter vi hela vägen till $g\left(\frac{n-1}{n}\right)>0$ får vi $f\left(\frac{n-1}{n}\right)>f\left(1\right)$. Men då har vi en motsägelse eftersom att $f\left(1\right)=f\left(0\right)$. Därför måste vi ha $g\left(x\right)=0$ för ett $x$ i $\left[\begin{array}{cc}a& a+\frac{1}{n}\end{array}\right]$ för något $a$

PS. argumentet med $g\left(x\right)<0$ är likadant så skriver inte ut det

 Hej! Tack för svar, jag ska ändra mitt $g$ ,lägga in index och skriva in tidigare rollen av $n$

Anledningen till att intervallet för $g$ går från $\left[\begin{array}{cc}0& \frac{n-1}{n}\end{array}\right]$ är för att $g\left(\frac{n-1}{n}\right)=f\left(\frac{n-1}{n}\right)-f\left(1\right)$ och eftersom  $f$ inte är nödvändigtvis definierade för större värden än 1 så måste väl detta vara det största x värdet för vilket $g$ är definierat

Ja det var den satsen jag hade i åtanke!

Hej!

För fixerat $n \in \mathbb{N}$ har du den kontinuerliga funktionen $g_n : [0,1-n^{-1}] \to \mathbb{R}$ definierad som

    $g_n(t) = f(t) - f(t+n^{-1}).$

• Om funktionen $f : [0,1]\to\mathbb{R}$ är konstant så är $g_n(t) = 0$ för alla $t \in [0,1-n^{-1}]$.
• Om funktionen $f$ inte är konstant så finns det ett tal $a \in (0,1)$ (öppet intervall) så att $f(a) \neq f(0)$. Visa att då innehåller intervallet $(0,a)$ ett delintervall ($I$) över vilket $f$ är växande/avtagande och intervallet $(a,1)$ innehåller ett delintervall ($J$) över vilket $f$ är avtagande/växande. Det följer att $g_n$ har olika tecken på intervallen $I$ och $J$ och enligt Bolzano-Weierstrass sats finns det ett $x \in (0,1)$ sådant att $g_n(x) = 0.$