Analysens huvudsats

Påstående: Låt $f$ vara en kontinuerlig funktion på det slutna intervallet $[a,b].$ Definiera funktionen

    $F(x) = \int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t$ för $a \leq x \leq b.$

Då är funktionen $F$ deriverbar på det öppna intervallet $(a,b)$ och derivatan är

    $F^'(x) = f(x).$

Bevis.

Låt $x$ vara en inre punkt till intervallet $[a,b]$ och låt talet $h$ vara sådant att $x+h \in [a,b].$ Då är differenskvoten

  $\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,\text{dt}$

definierad, och det finns ett tal ($m$) som ligger någonstans mellan $x$ och $x+h$ som är sådant att

   $\int_{x}^{x+h}f(t)\,\text{dt} = f(m) \cdot h$.

När talet $h$ närmar sig $0$ (från höger eller från vänster) så kommer talet $m$ att närma sig talet $x.$ Eftersom $x$ är en inre punkt till $[a,b]$ och funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $x$ så följer det att

   $f(m) \to f(x)$ när $m \to x.$

Det gäller alltså att

   $\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{m\to x} f(m) = f(x),$

vilket skulle bevisas.