0 svar
577 visningar
Albiki 3924
Postad: 14 sep 2017

Analysens huvudsats

Påstående: Låt f f vara en kontinuerlig funktion på det slutna intervallet [a,b]. [a,b]. Definiera funktionen

    F(x)=axf(t)dt F(x) = \int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t för axb. a \leq x \leq b.

Då är funktionen F F deriverbar på det öppna intervallet (a,b) (a,b) och derivatan är

    F'(x)=f(x). F^'(x) = f(x).

Bevis.

Låt x x vara en inre punkt till intervallet [a,b] [a,b] och låt talet h h vara sådant att x+h[a,b]. x+h \in [a,b]. Då är differenskvoten

  F(x+h)-F(x)h=1hxx+hf(t)dt \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,\text{dt}

definierad, och det finns ett tal ( m m ) som ligger någonstans mellan x x och x+h x+h som är sådant att

   xx+hf(t)dt=f(m)·h \int_{x}^{x+h}f(t)\,\text{dt} = f(m) \cdot h .


När talet h h närmar sig 0 0 (från höger eller från vänster) så kommer talet m m att närma sig talet x. x. Eftersom x x är en inre punkt till [a,b] [a,b] och funktionen f f är kontinuerlig i punkten x x så följer det att


   f(m)f(x) f(m) \to f(x) när mx. m \to x.

Det gäller alltså att


   limh0F(x+h)-F(x)h=limmxf(m)=f(x), \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{m\to x} f(m) = f(x),


vilket skulle bevisas.

Svara Avbryt
Close