12 svar
84 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 602
Postad: 8 maj 2019 Redigerad: 8 maj 2019

Analysera kurvor utan grafräknare

Jag ska lösa en uppgift som är att man ska beräkna arean av området som begränsas av 2 kurvor. Dessa är:

y = f(x) = 3x^2 - 18x + 11 och

y = k(x) = -3x - 1.

Jag vet hur jag ska lösa uppgiften genom att integrera, det är egentligen inte det som är problemet.

Det jag undrar är hur jag kan veta att ”på intervallet [1,4] ligger linjen y = k(x) ovanför y = f(x)”, utan att slå in funktionerna på grafräknaren?

Vid x = 1 och vid x = 4 finns skärningspunkterna mellan de båda funktionerna. Det kan jag räkna ut. Jag kan även rita ut y = k(x) = -3x -1 utan räknare. Men f(x) är svårare att visualisera. Att den skär y-axeln vid y = 11 kan jag utläsa och nollställena kan jag ta fram. Likaså att det ska vara en parabel formad som en ”glad mun” förstår jag. Men att min-punkten för parabeln är  y = -16 behöver jag räknaren för att se. Jag skulle inte omedelbart kunna säga: 

”på intervallet [1,4] ligger linjen y = k(x) ovanför y = f(x)”,

vilket jag behöver kunna göra för att veta vilken av funktionerna jag ska subtrahera vilken ifrån när jag integrerar.

Eftersom du tagit fram skärningarna och hittat två stycken, vet du att den kurva som ligger överst i intervallet är samma kurva i hela intervallet. Då kan vi sätta in exempelvis x = 2 i f och k:

f(2)=-13f(2)=-13 och k(2)=-7k(2)=-7 (slarvigt räknat, kontrollräkna de exakta siffrorna)

Eftersom k ger ett större y-värde än f, i intervallet, ligger k över f! :)

Man behöver kunna rita för hand. Den räta linjen är enkel - hoppas du håller med! Du bör snabbt kunna hitta att symmetrilinjen till parabeln är x=3, och sedan är det ett enda värde på parabeln du behöver räkna fram - förutom att du behöver lösa ekvationen 3x2-18x+11=-3x-1 för att få fram skärningspunkterna.

Förresten, i och med att du hittar två skärningspunkter mellan kurvorna, och du vet att det är en "glad mun" så kan du inse att andragradskurvan måste vara underkurva - hade en "glad" andragradskurva ligga ovanför den räta linjen så skulle det inte ha blivit några skärningspunkter.

Albiki 4226
Postad: 8 maj 2019

Hej!

Differensen

    f(x)-k(x)=3x2-18x+11+3x+1=3x2-15x+12=3(x2-5x+4)f(x)-k(x)=3x^2-18x+11+3x+1=3x^2-15x+12=3(x^2-5x+4)

kan kvadratkompletteras 

    f(x)-k(x)=3(x-2.5)2+3(4-2.52)f(x)-k(x)=3(x-2.5)^2+3(4-2.5^2)

och den visar för vilka xx som differensen är negativ. 

Lisa Mårtensson 602
Postad: 8 maj 2019

Tack för alla bra svar som kompletterar varandra och gör att jag förstår.

Yngve Online 12092 – Mattecentrum-volontär
Postad: 8 maj 2019 Redigerad: 8 maj 2019

Snabb men ful lösning:

Chansa. Integrera f(x) - k(x). Arean är absolutbeloppet av integralens värde.

  • Om integralens värde är positivt så ligger f ovanför k och du chansade rätt.
  • Om integralens värde är negativt så ligger f under k och du chansade fel.

Varningar:

  • För att detta ska funka måste den ena kurvan ligga ovanför den andra i hela intervallet.
  • Du kan förlora poäng på provet om uppgiften kräver att du ska redovisa lösningar.

@Yngve: Smart! Dock lite den här typen av lösning: 

:D

Yngve Online 12092 – Mattecentrum-volontär
Postad: 8 maj 2019 Redigerad: 8 maj 2019

Gilla quick-and-dirty ibland :-)

Silvertejpen har sin givna plats i matematikernas verktygslåda, mellan enhetscirkeln och konjugatregeln!

Lisa Mårtensson 602
Postad: 9 maj 2019 Redigerad: 9 maj 2019

Bra med många alternativ.

Jo, Smaragdalena, jag förstod nu att jag räknar ut symmetriplanen, parabelns skärningspunkter med x-axeln och parabelns extrempunkt (min.punkt) för att få parabelns utseende. Det är sådant jag kan vid det här laget.

Skärningspunkterna med x-axeln får jag genom att sätta f(x)=0.

De blir vid ungefär x=0,7 och x=5,3.

Du behöver inte lösa ekvationen f(x)=0 (däremot behöver du lösa ekvationen f(x)=k(x) för att få fram skärningspunkterna).

Lisa Mårtensson 602
Postad: 9 maj 2019 Redigerad: 9 maj 2019

Jag menade för att få veta parabelns utseende. Att jag ville veta parabelns skärningspunkter med x-axeln för att kunna rita parabeln och även för att se symmetrilinjen.

Albiki 4226
Postad: 9 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

Differensen

    f(x)-k(x)=3x2-18x+11+3x+1=3x2-15x+12=3(x2-5x+4)f(x)-k(x)=3x^2-18x+11+3x+1=3x^2-15x+12=3(x^2-5x+4)

kan kvadratkompletteras 

    f(x)-k(x)=3(x-2.5)2+3(4-2.52)f(x)-k(x)=3(x-2.5)^2+3(4-2.5^2)

och den visar för vilka xx som differensen är negativ. 

Konjugatregeln låter dig skriva

    4-2.52=(42)2-(52)2=(42-52)(42+52)=-94=-(3/2)24-2.5^2 = (\frac{4}{2})^2-(\frac{5}{2})^2=(\frac{4}{2}-\frac{5}{2})(\frac{4}{2}+\frac{5}{2})=-\frac{9}{4} = -(3/2)^2

och då kan differensen, återigen med hjälp av Konjugatregeln, skrivas

    f(x)-k(x)=3·(x-52-32)(x-52+32)=3·(x-4)(x-1).f(x)-k(x) = 3\cdot (x-\frac{5}{2}-\frac{3}{2})(x-\frac{5}{2}+\frac{3}{2})=3\cdot(x-4)(x-1).

Differensen är negativ då 1<x<41<x<4, vilket betyder att på detta intervall är ligger grafen till den räta linjen över grafen till funktionen f.f.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 9 maj 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Jo, Smaragdalena, jag förstod nu att jag räknar ut symmetriplanen, parabelns skärningspunkter...

EDIT: symmetrilinjen ska det förstås stå. 

Svara Avbryt
Close