Ändligt värde

Ta fram den primitiva funktionen och undersök gränsvärdet mot oändligheten. Du kommer se att gränsvärdet inte konvergerar om inte $k>1$.

Vad är primitiva funktionen för t.ex. x^(-1/2)? Vad är dess värde när x går mot oändligheten?

Är det såhär jag ska tänka: Värdet är inte oändligt vid t.ex.  k = 0,5 men då k är mindre än 1 och större än 0 så är värdet påväg mot en oändligt värde?

Det absolut lättaste är här att ta fram den primitiva funktionen för $x^k$ så att du får:

$\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^k}\ dx=\int_1^{\infty}x^{-k}\ dx=[\dfrac{x^{1-k}}{1-k}]_1^{\infty}$

Undersök nu hur detta uttryck ter sig när det går mot oändligheten. Inser du då varför det krävs att $k>1$?

AlvinB skrev:

Det absolut lättaste är här att ta fram den primitiva funktionen för $x^k$ så att du får:

$\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^k}\ dx=\int_1^{\infty}x^{-k}\ dx=[\dfrac{x^{1-k}}{1-k}]_0^{\infty}$

Undersök nu hur detta uttryck ter sig när det går mot oändligheten. Inser du då varför det krävs att $k>1$?

 Jag förstår den detaljen att om k>1 så går värdet mot 0 eftersom grafen närmar sig x-axeln. Men varför är värdet oändligt då k ligger mellan 0 och 1

Erika1267 skrev:

AlvinB skrev:

Det absolut lättaste är här att ta fram den primitiva funktionen för $x^k$ så att du får:

$\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^k}\ dx=\int_1^{\infty}x^{-k}\ dx=[\dfrac{x^{1-k}}{1-k}]_0^{\infty}$

Undersök nu hur detta uttryck ter sig när det går mot oändligheten. Inser du då varför det krävs att $k>1$?

 Jag förstår den detaljen att om k>1 så går värdet mot 0 eftersom grafen närmar sig x-axeln. Men varför är värdet oändligt då k ligger mellan 0 och 1

 Eller rättare sagt varför går värdet mot oändligheten just då k är mellan 0 och 1

Erika1267 skrev:

AlvinB skrev:

Det absolut lättaste är här att ta fram den primitiva funktionen för $x^k$ så att du får:

$\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^k}\ dx=\int_1^{\infty}x^{-k}\ dx=[\dfrac{x^{1-k}}{1-k}]_0^{\infty}$

Undersök nu hur detta uttryck ter sig när det går mot oändligheten. Inser du då varför det krävs att $k>1$?

 Jag förstår den detaljen att om k>1 så går värdet mot 0 eftersom graften närmar sig x-axeln. Men varför är värdet oändligt då k ligger mellan 0 och 1

 Om vi "tar ned" $x^{1-k}$ i nämnaren genom att sätta ett minustecken i exponenten får vi:

$[\dfrac{x^{1-k}}{1-k}]_1^{\infty}=[\dfrac{1}{x^{k-1}(1-k)}]_1^{\infty}$

För att detta skall vara ändligt krävs att nämnaren är växande mot oändligheten. Om $k>1$ blir exponenten $k-1$ positiv och därmed är nämnaren växande. Är däremot $k<>$ får vi en negativ exponent, vilket gör att nämnaren istället går mot noll (vilket leder till att hela bråket skenar iväg mot oändligheten). Specialfallet är då $k=1$ vilket är odefinierat på grund av faktorn $\frac{1}{1-k}$.

Erika1267 skrev:

AlvinB skrev:

Det absolut lättaste är här att ta fram den primitiva funktionen för $x^k$ så att du får:

$\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^k}\ dx=\int_1^{\infty}x^{-k}\ dx=[\dfrac{x^{1-k}}{1-k}]_0^{\infty}$

Undersök nu hur detta uttryck ter sig när det går mot oändligheten. Inser du då varför det krävs att $k>1$?

 Jag förstår den detaljen att om k>1 så går värdet mot 0 eftersom grafen närmar sig x-axeln. Men varför är värdet oändligt då k ligger mellan 0 och 1

 Om du tar ett mycket stort positivt tal ($x$) och upphöjer det till en positiv potens ($1-k$) så får du ett mycket stort positivt tal; detta indikerar att det går att få integralen $\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{k}}dt$ hur stor som helst, om man bara väljer den övre integrationsgränsen $x$ tillräckligt stor (tillräckligt ''nära'' $\infty$).

Om du tar ett mycket stort positivt tal ($x$) och upphöjer det till en negativ potens ($1-k$) så får du ett mycket litet positivt tal; detta indikerar att det går att få integralen $\int_{1}^{x} \frac{1}{t^k}dt$ hur nära talet $1/(k-1)$ som helst, om man bara väljer den övre integrationsgränsen $x$ tillräckligt stor (tillräckligt nära $\infty$.)