Andra grads differentialekvation

Hej!

Jag har fastnat på en uppgift där man ska hitta allmänna lösningen till differentialekvationen y''-y=xsinx

Detta är vad jag har svarat. Men i facit står det även en -(cosx)/2. Vart har jag missat något?

Tack!!

Om du kommer fram till att a=-x/2 har du alltså satt att konstanten a har ett beroende av x. Detta gör att andraderivatan av a*sin(x) blir annorlunda.

Är fast på samma fråga. Gjorde på samma sätt och fick samma svar. Eller är allmänna partikulärlösningen yp=(ax + b)sinx + (cx+d)cosx? Får a till -0.5 men får inte ut b,c,d. Det är en digitala verktyg fråga men vet inte hur jag ska använda det. :(

Gissningen till partikulärlösningen borde nog vara på formen $(ax + b)\sin x + (cx + d)\cos x$ , ja. I uttrycket $y'' - y$ när vi deriverar kommer vi få termer på formen $\cos x$ eller $\sin x$ , inte bara $x\cos x$ och $x\sin x$ . Så vi behöver ta hänsyn till dem också.

aliceee___ skrev:
Är fast på samma fråga. Gjorde på samma sätt och fick samma svar. Eller är allmänna partikulärlösningen yp=(ax + b)sinx + (cx+d)cosx? Får a till -0.5 men får inte ut b,c,d. Det är en digitala verktyg fråga men vet inte hur jag ska använda det. :(

Har du ställt upp uttrycket $y'' - y$ och jämfört koefficienter? Hur ser ditt försök ut? Verkar som du nästan är i mål.

Visa spoiler

Om du deriverat och ställt upp $y_p'' - y_p = x\sin x$ med

$y''_p = (ax+b)\sin x + (cx+d)\cos x$

borde du få något i stil med:

$(2a - 2d)\cos x - (2b + 2c)\sin x - 2cx\cos x - 2ax\sin x = x\sin x$ .

Gissar att du kan utföra deriveringen m.h.a. digitala verktyg. Går bra att göra för hand också, lite omständigt bara.

Jämför vi $-2ax\sin x$ med $x\sin x$ ser vi att $-2a = 1$ , alltså att $a=-1/2$ .

Vidare måste $2a-2d=0$ eftersom vi inte har någon $\cos x$ -term i HL.

Insättning av $a=-1/2$ ger $d = -1/2$ .

Vi får sedan att $-2c=0$ eftersom det inte finns någon $x\cos x$ -term i HL. Så $c=0$ .

Till sist så måste även $-(2b + 2c) = 0$ eftersom vi saknar en $\sin x$ -term i HL. Eftersom $c=0$ så måste även $b=0$ .

Då har vi sammanfattningsvis att

$y_p = -\frac{x\sin x}{2} - \frac{\cos x}{2}$ .

Svara

Visa senaste svar