Andra ordningen ODE och bestämma alfa

e^at går mot noll då t går mot oändlighet omm a < 0.

Så om du gjort rätt så gäller det att hitta alfa så att

-2alfa + 2 < 0 och -2alfa < 0.

PATENTERAMERA skrev:

e^at går mot noll då t går mot oändlighet omm a < 0.

Så om du gjort rätt så gäller det att hitta alfa så att

-2alfa + 2 < 0 och -2alfa < 0.

Hm men varför ska -2alfa+2<0?

destiny99 skrev:

Hm men varför ska -2alfa+2<0?

Som PATENTERAMERA skrivit på första raden så gäller att $e^{rt} \to 0$ då $t\to \infty$ om och endast om $r<0$. Använd denna egenskap på den funna allmänna lösningen.

Du har ju tagit fram att $y = c_1 e^{(-2\alpha + 2)t} + c_2 e^{-2\alpha t}$.

Om lösningen skall gå mot noll, så måste exponenterna i båda exponentialfunktionerna ha negativ koefficient. Den ena exponentialfunktionen har $r_1 = -2\alpha + 2$ i exponenten och den andra har $r_2 = -2\alpha$. Både $r_1 < 0$ och $r_2 < 0$ måste vara uppfyllt om du vill att $y = c_1 e^{r_1t} + c_2 e^{r_2t} \to 0$ då $t\to \infty$

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Hm men varför ska -2alfa+2<0?

Som PATENTERAMERA skrivit på första raden så gäller att $e^{rt} \to 0$ då $t\to \infty$ om och endast om $r<0$. Använd denna egenskap på den funna allmänna lösningen.

Du har ju tagit fram att $y = c_1 e^{(-2\alpha + 2)t} + c_2 e^{-2\alpha t}$.

Om lösningen skall gå mot noll, så måste exponenterna i båda exponentialfunktionerna ha negativ koefficient. Den ena exponentialfunktionen har $r_1 = -2\alpha + 2$ i exponenten och den andra har $r_2 = -2\alpha$. Både $r_1 < 0$ och $r_2 < 0$ måste vara uppfyllt om du vill att $y = c_1 e^{r_1t} + c_2 e^{r_2t} \to 0$ då $t\to \infty$

Jaha ok. Bra förklarat! Då förstår jag.