7 svar
59 visningar
William2001 är nöjd med hjälpen!
William2001 165
Postad: 30 sep 2020

Andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter och begynelse villkor.

Hej, hur ska jag gå till väga när jag ska lösa uppgiften:                                                                                                          

Bestäm partikulärlösningen till: y''- 4y'+ 4y = ex med y'(0) = 0 ; y(0) = 2.

Eftersom HL är en trigonometrisk funktion så antar jag att jag ska sätta y=Ceax och sedan derivera

så att jag får y'= aCeax och y''= a2Ceax.

Men vad gör jag sen? 

Har du hittat lösningen till den homogena ekvationen? Vad blir partikulärlösningen? :)

William2001 165
Postad: 30 sep 2020
Smutstvätt skrev:

Har du hittat lösningen till den homogena ekvationen? Vad blir partikulärlösningen? :)

Den homogena lösningen får jag till: c1xe2x+c2e2x . Men partikulärlösningen vet jag inte.

Bra, det låter rimligt! Angående ansättningen: Om vårt HL ska vara lika med exe^x, är en rimlig ansättning y=Bexy=Be^x. Ansätt inte y=Beaxy=Be^{ax}, eftersom det a:et inte försvinner oavsett deriveringar. Detta ger dig lösningen y=c1xe2x+c2e2x+Bex. Vad måste B vara för att ansättningen ska fungera? Sätt sedan in de värden som uppgiften gett dig. Vad är B? Vad är c1 och c2?

William2001 165
Postad: 30 sep 2020
Smutstvätt skrev:

Bra, det låter rimligt! Angående ansättningen: Om vårt HL ska vara lika med exe^x, är en rimlig ansättning y=Bexy=Be^x. Ansätt inte y=Beaxy=Be^{ax}, eftersom det a:et inte försvinner oavsett deriveringar. Detta ger dig lösningen y=c1xe2x+c2e2x+Bex. Vad måste B vara för att ansättningen ska fungera? Sätt sedan in de värden som uppgiften gett dig. Vad är B? Vad är c1 och c2?

Så y= c1xe2x + c2e2x+Bex . Ska jag då först sätta y(0)=2 vilket ger: c1+c2+B=2

och sedan derivera y. Då får jag ddx c1xe2x+c2e2x+Bex= 2xc1e2x+ce2x+2c2e2x+Bex.

och med y'(0)=0 får jag sedan c1+2c2+B=0. Men räcker detta för att lista ut variablerna med t.ex Gausselemination? 

Börja med att bestämma B tror jag. Vi vet att y=Bexy=Be^x är en lösning, och det kan vi sätta in i ekvationen. y''y'' och y'y' är båda lika med yy. Det ger oss: 

Bex-4Bex+4Bex=exBex=exB=1

Nu kan vi hitta y(0) och y'(0) med den metod du använde i inlägget ovanför detta. :)

William2001 165
Postad: 30 sep 2020

Nu förstår jag, tack så mycket!

Roligt att höra, varsågod! :)

Svara Avbryt
Close