Andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter och begynelse villkor.

Har du hittat lösningen till den homogena ekvationen? Vad blir partikulärlösningen? :)

Smutstvätt skrev:

Har du hittat lösningen till den homogena ekvationen? Vad blir partikulärlösningen? :)

Den homogena lösningen får jag till: c₁xe^2x+c₂e^2x . Men partikulärlösningen vet jag inte.

Bra, det låter rimligt! Angående ansättningen: Om vårt HL ska vara lika med $e^x$, är en rimlig ansättning $y=Be^x$. Ansätt inte $y=Be^{ax}$, eftersom det a:et inte försvinner oavsett deriveringar. Detta ger dig lösningen $y=c_{1}x{e}^{2x}+c_2{e}^{2x}+B{e}^x$. Vad måste B vara för att ansättningen ska fungera? Sätt sedan in de värden som uppgiften gett dig. Vad är B? Vad är c₁ och c₂?

Smutstvätt skrev:

Bra, det låter rimligt! Angående ansättningen: Om vårt HL ska vara lika med $e^x$, är en rimlig ansättning $y=Be^x$. Ansätt inte $y=Be^{ax}$, eftersom det a:et inte försvinner oavsett deriveringar. Detta ger dig lösningen $y=c_{1}x{e}^{2x}+c_2{e}^{2x}+B{e}^x$. Vad måste B vara för att ansättningen ska fungera? Sätt sedan in de värden som uppgiften gett dig. Vad är B? Vad är c₁ och c₂?

Så y= c₁xe^2x + c₂e^2x+Be^x . Ska jag då först sätta y(0)=2 vilket ger: c₁+c₂+B=2

och sedan derivera y. Då får jag $\frac{d}{dx}$ $c_{1}x{e}^{2x}+c_2{e}^{2x}+B{e}^x$= 2xc₁e^2x+ce^2x+2c₂e^2x+Be^x.

och med y'(0)=0 får jag sedan c₁+2c₂+B=0. Men räcker detta för att lista ut variablerna med t.ex Gausselemination? 

Börja med att bestämma B tror jag. Vi vet att $y=Be^x$ är en lösning, och det kan vi sätta in i ekvationen. $y''$ och $y'$ är båda lika med $y$. Det ger oss: 

$$\begin{gathered} B{e}^x-4B{e}^x+4B{e}^x=e^x \\ B{e}^x=e^x \\ B=1 \end{gathered}$$

Nu kan vi hitta $y\left(0\right)$ och $y\text{'}\left(0\right)$ med den metod du använde i inlägget ovanför detta. :)

Nu förstår jag, tack så mycket!

Roligt att höra, varsågod! :)