6 svar
46 visningar
poijjan är nöjd med hjälpen!
poijjan 273
Postad: 3 maj 2019

Andragradsekvationer

Skriv en andragradsekvation med reella koefficienter som har en rot 5+2i. 

 

Jag resonerade utifrån pq-formen x^2+px+q=0 

 

Insåg att mitt måste vara p/2 = 5 dvs p=10

och att mitt q måste vara ett tal som ger -4 under rottecknet i pq-formeln dvs 29.

 

Altså: x^2+10x+29=0 , vilket stämmer med facit. 

 

Men de ger en ledtråd i facit som jag inte hänger med på hur det skulle hjälpa mig "Rötterna är konjugerande tal"

Laguna 4990
Postad: 3 maj 2019

De menar att den andra roten är 5-2i.

Ditt resonemang stämmer, men det är teckenfel någonstans, för pq-metoden på ditt svar skulle ge -5+2i.

poijjan 273
Postad: 3 maj 2019 Redigerad: 3 maj 2019
Laguna skrev:

De menar att den andra roten är 5-2i.

Ditt resonemang stämmer, men det är teckenfel någonstans, för pq-metoden på ditt svar skulle ge -5+2i.

Menade X^2-10x+29 :) 

 

Jag är med på att den andra lösningen är 2-i då svaret kommer bli 5± 2i,

Kanske övertolkar ledtråden, men tänker att de syftar på att man kan lösa upgiften på något annat sätt bara utifrån att man vet vad rötterna är ? 

Yngve 11630 – Mattecentrum-volontär
Postad: 3 maj 2019 Redigerad: 3 maj 2019
poijjan skrev:

...

Kanske övertolkar ledtråden, men tänker att de syftar på att man kan lösa upgiften på något annat sätt bara utifrån att man vet vad rötterna är ? 

Ja så är det nog.

En godtycklig andragradsekvation kan skrivas P(x)=0P(x)=0, där P(x)P(x) är ett andragradspolynom.

Ett godtyckligt andragradspolynom kan skrivas i faktoriserad form som P(x)=k(x-x1)(x-x2)P(x)=k(x-x_1)(x-x_2), där k är en reell konstant och x1x_1 respektive x2x_2 är polynomets nollställen, dvs lösningarna till andragradsekvationen P(x)=0P(x)=0.

Om du nu multiplicerar ihop parenteserna i uttrycket för P(x)P(x) så får du att P(x)=k(x2-(x1+x2)x+x1x2)P(x)=k(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2).

Eftersom du känner till både x1x_1 och x2x_2 så är det bara att sätta in dessa värden i det ihopmultiplicerade uttrycket ovan, förenkla och sedan välja ett valfritt värde på konstanten kk.

poijjan 273
Postad: 3 maj 2019 Redigerad: 3 maj 2019
Yngve skrev:
poijjan skrev:

...

Kanske övertolkar ledtråden, men tänker att de syftar på att man kan lösa upgiften på något annat sätt bara utifrån att man vet vad rötterna är ? 

Ja så är det nog.

En godtycklig andragradsekvation kan skrivas P(x)=0P(x)=0, där P(x)P(x) är ett andragradspolynom.

Ett godtyckligt andragradspolynom kan skrivas i faktoriserad form som P(x)=k(x-x1)(x-x2)P(x)=k(x-x_1)(x-x_2), där k är en reell konstant och x1x_1 respektive x2x_2 är polynomets nollställen, dvs lösningarna till andragradsekvationen P(x)=0P(x)=0.

Om du nu multiplicerar ihop parenteserna i uttrycket för P(x)P(x) så får du att P(x)=k(x2-(x1+x2)x+x1x2)P(x)=k(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2).

Eftersom du känner till både x1x_1 och x2x_2 så är det bara att sätta in dessa värden i det ihopmultiplicerade uttrycket ovan, förenkla och sedan välja ett valfritt värde på konstanten kk.

Tackar! 

Har hållt mig till "pq funkar alltid", nu kommer straffet :-)  måste uppdatera mig på det där, men det känns igen! 

Albiki 3943
Postad: 3 maj 2019 Redigerad: 3 maj 2019

Hej!

Om p(x)p(x) är ett polynom med reella koefficienter och det komplexa talet z=a+ibz = a+ib är en rot till polynomet -- det vill säga p(z)=0p(z) = 0 -- så är även det komplexa talet x¯=a-ib\bar{x} = a-ib en rot till polynomet.

  • Du vet att z=5+i2z = 5+i2 är en rot till polynomet pp och då är z¯=5-i2\bar{z} = 5-i2 också en rot till pp.
  • pp är ett andragradspolynom har det inga fler rötter.

Det betyder att polynomet kan skrivas

    p(x)=k·(x-z)(x-z¯)p(x) = k \cdot (x-z)(x-\bar{z})

där kk är någon konstant, vilken som helst. För att bestämma exakt vilken konstant kk det är fråga om måste du veta p(x)p(x) för ett visst x-värde.

Om exempelvis p(0)=1p(0) = 1 så är k=1/29k = 1/29 eftersom

    1=k·(0-z)(0-z¯)=k·zz¯=k·(52+22)k=1/29.1 = k\cdot (0-z)(0-\bar{z}) = k \cdot z\bar{z} = k \cdot (5^2+2^2) \iff k = 1/29.

poijjan 273
Postad: 3 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

Om p(x)p(x) är ett polynom med reella koefficienter och det komplexa talet z=a+ibz = a+ib är en rot till polynomet -- det vill säga p(z)=0p(z) = 0 -- så är även det komplexa talet x¯=a-ib\bar{x} = a-ib en rot till polynomet.

  • Du vet att z=5+i2z = 5+i2 är en rot till polynomet pp och då är z¯=5-i2\bar{z} = 5-i2 också en rot till pp.
  • pp är ett andragradspolynom har det inga fler rötter.

Det betyder att polynomet kan skrivas

    p(x)=k·(x-z)(x-z¯)p(x) = k \cdot (x-z)(x-\bar{z})

där kk är någon konstant, vilken som helst. För att bestämma exakt vilken konstant kk det är fråga om måste du veta p(x)p(x) för ett visst x-värde.

Om exempelvis p(0)=1p(0) = 1 så är k=1/29k = 1/29 eftersom

    1=k·(0-z)(0-z¯)=k·zz¯=k·(52+22)k=1/29.1 = k\cdot (0-z)(0-\bar{z}) = k \cdot z\bar{z} = k \cdot (5^2+2^2) \iff k = 1/29.

Bra förklarat , tack så mycket! Tror jag hänger med på hur det fungerar nu! 

Svara Avbryt
Close