10 svar
245 visningar
tomast80 3590
Postad: 22 jun 2019 07:38 Redigerad: 22 jun 2019 13:03

Andragradsfunktion

En andragradsfunktion: f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

har följande egenskaper:

maxf(x)=f(xmax)=12\max f(x)=f(x_{\max})=12

f(xmax+2)=0f(x_{\max}+2)=0

f'(0)=30f'(0)=30

Bestäm konstanterna aa, bb och cc.

Laguna Online 15200
Postad: 22 jun 2019 12:10

Rolig även för oss andra, för att försöka hitta det smidigaste sättet att lösa detta.

tomast80 3590
Postad: 22 jun 2019 12:16 Redigerad: 22 jun 2019 12:17
Laguna skrev:

Rolig även för oss andra, för att försöka hitta det smidigaste sättet att lösa detta.

Absolut! Ni på en högre nivå kan ju lägga era lösningar inom s.k. "spoilers". Jag fick tänka till en del för att formulera uppgiften så att den skulle bli lagom klurig. Lite sugen faktiskt på att skriva en matematikbok ifall tid funnes. Då skulle det bli många uppgifter av liknade typ.

Albiki 5320
Postad: 22 jun 2019 15:59
Visa spoiler

Funktionen har unikt globalt maximum implicerar att a<0a<0 så att en kvadratkomplettering ger

    -f(x)=(|a|0.5x-0.5|a|-0.5b)2-(c+0.25b2|a|-1)-f(x) = (|a|^{0.5}x-0.5|a|^{-0.5}b)^2 - (c+0.25b^2|a|^{-1})

och visar att

    -12=c+0.25b2|a|-1-12 = c+0.25b^2|a|^{-1} och 2xmax=|a|-1b2x_{max}=|a|^{-1}b

så att

    |a|0.5xmax+2|a|0.5+0.5|a|-0.5b=2|a|0.5|a|^{0.5}x_{max}+2|a|^{0.5}+0.5|a|^{-0.5}b= 2|a|^{0.5}

vilket ger

    0=-4|a|+12a=-30 = -4|a|+12 \iff a=-3

vilket i sin tur medför 144=12c-b2144=12c-b^2 och 6xmax+b=0.6x_{max}+b=0.

Derivatan f'(0)=bf'(0)=b visar att b=30b=30 och det följer då att xmax-5=0x_{max}-5=0 och

    122-302=12c=(12-30)(12+30)=-18·42c=-3·21=-63.12^2-30^2=12c=(12-30)(12+30)=-18\cdot 42 \iff c=-3\cdot 21=-63.

Resultat: Koefficienterna a=-3a=-3 och b=30b=30 och c=-63c=-63 ger polynomet

    f(x)=-3x2+30x-63=12-3(x-5)2f(x) = -3x^2+30x-63 = 12-3(x-5)^2

för vilket f(5+2)=12-3·4=0f(5+2)=12-3\cdot 4=0 och f'(0)=-6·(-5).f'(0)=-6\cdot (-5).

Ebola Online 2162
Postad: 22 jun 2019 16:54 Redigerad: 22 jun 2019 16:57
Visa spoiler

Till att börja med har vi att f'(0)=30 vilket ger:

f'(x)=2ax+bb=30

Vi har direkt från lösning av ekvationen f(x)=0 att:

x=-15a±152a2-ca

Detta ger att xmax=-15a och med f(xmax)=12 får vi:

a-15a2+30-15a+c=12  c=12+225a

Från f(xmax+2)=0 får vi då:

2=152a2-ca  2=152a2-12a-152a2  2=-12a

Detta ger att a=-3 vilket ger att c=-63.

Sammanfattning:

 a=-3b=30    c=-63

tomast80 3590
Postad: 22 jun 2019 20:09

Snygga lösningar Albiki och Ebola!

Iridiumjon 328
Postad: 22 jun 2019 21:40 Redigerad: 22 jun 2019 21:46

Börjar åk 1 gymnasiet till HT, här är min lösning (jag betecknar xmax som vanligt x):

f'(0) =2a·0 + b =30b =30ekv.1) ax2+30x+c =12ekv.2) a(x+2)2+30x+60+c =0ekv.3) a(x+2)2-ax2 = 72  (ser den enda skillnaden mellan ekv.1 och ekv.2)

förenkling av ekv. 2:

a(x2+4x+4)+30x+60+c = 0 ax2+4ax+4a+30x+60+c =0

förenkling av ekv. 3:

  a(x2+4x+4)-ax2 = 72  ax2+4ax+4a-ax2=72  4ax+4a =72

Variabel substitution i ekv.3:

4ax4a+4a4a=724a  x = 724a x =18a

Substituerar i ekv.1:

a·(18a)2+30·18a+c =12  324a+540a+c =12 864a+c =12

Substituerar i ekv.2:

a·(18a)2+4a·18a +4a+30·18a+60+c =0  324a+72+4a+540a+60+c = 0 864a+4a+132+c =0

Nu subtraherar jag ekv.1 från ekv.2:

 864a-864a+4a+132+c-c = 0-12 4a+132 =-124a+132-132 =12-132 4a=-144 a =-36

Sätter in alla värden jag har fått reda på (a och b) i bägge ekvationer för att få reda på c:

ekv.1:  864-36 +c =12  -24+c =12c =36sätter in alla variabler i ekv 2:864-36+4·-36+132+36 = 0-24-144+132+36 =0168-168  0

 Sätter in i ursprungsekvationer för att kontrollera:

ekv.1:

-36·-0,52+30·-0,5+36 =12-9-15+36 =1236-24 =121212

ekv2:

-36·(-0,5+2)2+30·-0,5+60+36=0-36·2,25-15+96 =0-81-15+96 =096-96 =000

Allt stämmer!

Svar: 

a = -36

b  = 30

c = 36

Iridiumjon 328
Postad: 22 jun 2019 21:50

Något måste vara fel, körde den på geogebra och max blev 42,25...

tomast80 3590
Postad: 22 jun 2019 22:40
Iridiumjon skrev:

Något måste vara fel, körde den på geogebra och max blev 42,25...

Tänket ser rätt ut, men det ska väl vara -72-72 i början?

tomast80 3590
Postad: 22 jun 2019 22:48

Min lösning:

Visa spoiler

Ansätt: f(x)=d+k(x-w)2f(x)=d+k(x-w)^2
 f(w)=12f(w)=12\Rightarrow
d+k(w-w)2=d=12d+k(w-w)^2=d=12
f(w+2)=12+k(w+2-w)2=0f(w+2)=12+k(w+2-w)^2=0
12+k·4=0k=-312+k\cdot 4 = 0 \Rightarrow k=-3
f'(x)=2k(x-w)f'(x)=2k(x-w)
f'(0)=-6(-w)=30f'(0)=-6(-w)=30\Rightarrow
w=306=5w=\frac{30}{6}=5
f(x)=12-3(x-5)2=12-3(x2-10x+25)=f(x)=12-3(x-5)^2=12-3(x^2-10x+25)=
-3x2+30x-63-3x^2+30x-63

Iridiumjon 328
Postad: 22 jun 2019 22:53
tomast80 skrev:
Iridiumjon skrev:

Något måste vara fel, körde den på geogebra och max blev 42,25...

Tänket ser rätt ut, men det ska väl vara -72-72 i början?

Aha, jo det ska det vara.

Svara Avbryt
Close