Ange andragradsfunktionen till grafen (Matematik/Matte 2/Funktioner och grafer)

Vi kallar andragradsfunktionen för $f(x)$ .

Från punkterna på grafen ser vi:

$f(-4)=0$

$f(1)=0$

$f(0)=8$

Vi vet att $f(x)$ är en andragradsfunktion, vilket vi kan skriva generellt som:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Kan du bestämma konstanterna $a$ , $b$ och $c$ med hjälp av villkoren ovan?

AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.

Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.

AlvinB skrev:
Vi kallar andragradsfunktionen för $f(x)$ .
Från punkterna på grafen ser vi:
$f(-4)=0$
$f(1)=0$
$f(0)=8$
Vi vet att $f(x)$ är en andragradsfunktion, vilket vi kan skriva generellt som:
$f(x)=ax^2+bx+c$
Kan du bestämma konstanterna $a$ , $b$ och $c$ med hjälp av villkoren ovan?

Jag är lite mer med på noterna, men kan inte riktigt hitta tänket... tycker det är svårt

AndersW skrev:
AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.
Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.

Jag tycker andragradsfunktioner är jättesvårt, förstår inte riktigt tänket fortfarande

AndersW skrev:
AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.
Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.

Lär man sig att en andragradsfunktion kan faktoriseras med hjälp av dess nollställen i Matte 2? Om så är fallet är detta självklart en snabbare lösning, men jag har för mig att man inte börjar med sådant förrän man lär sig om faktorsatsen i Matte 4.

maxwilliam skrev:
AndersW skrev:
AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.
Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.
Jag tycker andragradsfunktioner är jättesvårt, förstår inte riktigt tänket fortfarande

Du kan tänka dig en funktion som en maskin där man stoppar in ett x-värde och får ut ett y-värde (i alla fall alla funktioner du jobbar med i Ma2).

I ditt fall vet du tre sådana x-y-par. Punkten (1, 0) talar till exempel om att om du stoppar in x-värdet 1 kommer du att få ut y-värdet 0.

Sedan fungerar andragradsfunktioner så att alla kan skrivas som $a x^{2} + b x + c$ där a, b och c är tal. Ditt jobb är att räkna ut dem!

Du vet att om du stoppar in x=1 ska du få ut y=0. Stoppar man in x=1 får man detta uttryck:

$a * 1^{2} + b * 1 + c = a + b + c$

Det ska bli 0 och alltså gäller:

$a + b + c = 0$

Om du gör likadant med de andra två punkterna kommer du att få 3 ekvationer. Det kommer att bli lätt att beräkna c eftersom du har fått "snälla" punkter. Sedan får du ett ekvationssystem med a och b som du får lösa som du brukar lösa ekvationssystem.

Ja, det gör man. Just detta, att en andragradsfunktion kan skrivas på detta sätt tas upp. Faktorsatsen som sådan, för polynom av högre grad, tas, som du säger, inte upp förrän i Ma4.

Däremot, om man nu skall ta upp sådant, så ingår ekvationssystem med tre obekanta bara i Ma2c inte i 2a eller 2b.

AlvinB skrev:
AndersW skrev:
AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.
Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.
Lär man sig att en andragradsfunktion kan faktoriseras med hjälp av dess nollställen i Matte 2? Om så är fallet är detta självklart en snabbare lösning, men jag har för mig att man inte börjar med sådant förrän man lär sig om faktorsatsen i Matte 4.

Jo det ska du ha lärt dig i Matte 2! Det kan vara så att denna användare inte har gått igenom det än och kommer göra det i ett senare avsnitt.

SvanteR skrev:
maxwilliam skrev:
AndersW skrev:
AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.
Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.
Jag tycker andragradsfunktioner är jättesvårt, förstår inte riktigt tänket fortfarande
Du kan tänka dig en funktion som en maskin där man stoppar in ett x-värde och får ut ett y-värde (i alla fall alla funktioner du jobbar med i Ma2).
I ditt fall vet du tre sådana x-y-par. Punkten (1, 0) talar till exempel om att om du stoppar in x-värdet 1 kommer du att få ut y-värdet 0.
Sedan fungerar andragradsfunktioner så att alla kan skrivas som $a x^{2} + b x + c$ där a, b och c är tal. Ditt jobb är att räkna ut dem!
Du vet att om du stoppar in x=1 ska du få ut y=0. Stoppar man in x=1 får man detta uttryck:
$a * 1^{2} + b * 1 + c = a + b + c$
Det ska bli 0 och alltså gäller:
$a + b + c = 0$
Om du gör likadant med de andra två punkterna kommer du att få 3 ekvationer. Det kommer att bli lätt att beräkna c eftersom du har fått "snälla" punkter. Sedan får du ett ekvationssystem med a och b som du får lösa som du brukar lösa ekvationssystem.

Tack så mycket! Nu förstår jag bättre hur jag ska tänka.

jonis10 skrev:
AlvinB skrev:
AndersW skrev:
AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.
Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.
Lär man sig att en andragradsfunktion kan faktoriseras med hjälp av dess nollställen i Matte 2? Om så är fallet är detta självklart en snabbare lösning, men jag har för mig att man inte börjar med sådant förrän man lär sig om faktorsatsen i Matte 4.
Jo det ska du ha lärt dig i Matte 2! Det kan vara så att denna användare inte har gått igenom det än och kommer göra det i ett senare avsnitt.

Sitter och bläddrar i Matematik 5000 2c och jag kan inte hitta någonstans där det beskrivs att man kan faktorisera ett andragradsuttryck med hjälp av dess nollställen.

Finns det någonstans där man kan se vad som tillhör vad i de olika gymnasiekurserna?

AlvinB skrev:
jonis10 skrev:
AlvinB skrev:
AndersW skrev:
AlvinBs metod fungerar men i detta fall, i och med att vi har nollställena är det enklare att sätta upp funktionen som f(x) = k(x-a)(x-b) där a och b är nollställena med omvänt tecken.
Sedan använder vi att vi vet att f(0) = 8 för att bestämma k.
Lär man sig att en andragradsfunktion kan faktoriseras med hjälp av dess nollställen i Matte 2? Om så är fallet är detta självklart en snabbare lösning, men jag har för mig att man inte börjar med sådant förrän man lär sig om faktorsatsen i Matte 4.
Jo det ska du ha lärt dig i Matte 2! Det kan vara så att denna användare inte har gått igenom det än och kommer göra det i ett senare avsnitt.
Sitter och bläddrar i Matematik 5000 2c och jag kan inte hitta någonstans där det beskrivs att man kan faktorisera ett andragradsuttryck med hjälp av dess nollställen.
Finns det någonstans där man kan se vad som tillhör vad i de olika gymnasiekurserna?

Det kanske varierar om böckerna tar upp det eller inte, men om du kollar på t.ex. denna här sidan så tar dom upp det.

Oavsett så har dom lärt sig nollproduktsmetoden och då ska det inte vara så svårt att tänka att man kan faktorisera en andragradare på de sättet.

I matte 2 lär man sig inte s.k "k-metoden" för att lösa sådana frågor.

Därför tror jag att du ska lösa frågan med hjälp av ekvationssytem bestående av tre ekvationer.

De tre ekvationerna kan du få genom att stoppa i de tre punkterna i den genrella ekvationen för andragradsfunktioner som är

y = ax^2 + bx + c

Så för att få första ekvation använder du punkten (-4,0), dvs att du stoppar i -4 som x och y som 0.

Andra ekvation får du genom att använda (1,0), dvs x blir 1 och y blir 0.

Sista ekvationen får du genom den sista punkten, (0,8), där du x blir 0 och y blir 8.

Då får du tre ekvationer i ett ekvationssystem som du ska försöka lösa.

Du kan göra det lite enklare till och med.

y = ax^2 + bx + c

c är ju där grafen skär i y-axeln, och det är ju 8.

så c = 8.

Nu kan du använda bara de två första ekvationerna för att ta reda på vad a och b är