Ange det betingade väntevärde i aposteriorifördelning (Matematik/Universitet/Sannolikhet och Statistik)

Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Ok ska man bara utan eftertanke tänka sig att U(0,1)=> Beta(1,1)? Jag hade tyvärr inte kommit på detta under en tenta om man ej räknar fram det från scratch.

Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Ok ska man bara utan eftertanke tänka sig att U(0,1)=> Beta(1,1)? Jag hade tyvärr inte kommit på detta under en tenta om man ej räknar fram det från scratch.

Det var lite det jag menade med att det känns spontant som en onödigt krånglig twist. Att beta(1,1) är ekvivalent med Uniform(0,1) är väl ganska känt, det dyker upp när man behöver en icke-informativ apriorifördelning. Men tycker som sagt det var rätt klurigt att ha med den detaljen

Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

I formelsamlingen är E(X)=alfa/(alfa+Beta) för betafördelningen men i lösningsförslaget skriver de E(theta|X=15)=alfa/(alfa+Beta)? Det är konstigt för vi har betingad väntevärde och ej väntevärde som formeln säger.

Du måste skilja på vad X betyder i formelsamlingen och uppgiften.

I formelsamlignen är det beteckningen på en Beta-fördelad variabel.

I uppgiften är det det observerade värdet, och nu har vi istället $\theta |X$ som är en Betafördelad-variabel.

Betingningen i väntevärdet kommer från att det är posterior-fördelningen vi är ute efter. Den fås genom att betinga på data

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Ok ska man bara utan eftertanke tänka sig att U(0,1)=> Beta(1,1)? Jag hade tyvärr inte kommit på detta under en tenta om man ej räknar fram det från scratch.

Det var lite det jag menade med att det känns spontant som en onödigt krånglig twist. Att beta(1,1) är ekvivalent med Uniform(0,1) är väl ganska känt, det dyker upp när man behöver en icke-informativ apriorifördelning. Men tycker som sagt det var rätt klurigt att ha med den detaljen

Aa ok det är alltså bara att komma ihåg för en icke informativ apriorifördelning så gäller U(0,1)=>Beta(1,1)? Vad innebär en icke informativ apriorifördelning och när är det så att vi har en informativ apriorifördelning?

Hondel skrev:
Betingningen i väntevärdet kommer från att det är posterior-fördelningen vi är ute efter. Den fås genom att betinga på data

Nu förstår jag inte. Ska man ej skriva om E(Theta|X=15) som man gör med P(A|B)? Jag ser ej hur E(Theta|X=15)=alfa/(alfa+Beta). Känns som att de har hoppat över en del steg.

Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Ok ska man bara utan eftertanke tänka sig att U(0,1)=> Beta(1,1)? Jag hade tyvärr inte kommit på detta under en tenta om man ej räknar fram det från scratch.

Det var lite det jag menade med att det känns spontant som en onödigt krånglig twist. Att beta(1,1) är ekvivalent med Uniform(0,1) är väl ganska känt, det dyker upp när man behöver en icke-informativ apriorifördelning. Men tycker som sagt det var rätt klurigt att ha med den detaljen

Aa ok det är alltså bara att komma ihåg för en icke informativ apriorifördelning så gäller U(0,1)=>Beta(1,1)? Vad innebär en icke informativ apriorifördelning och när är det så att vi har en informativ apriorifördelning?

Glöm det där jag sa med icke-informativ apriori-fördelning, det hör inte till uppgiften.

Att Unif(0,1) = Beta(1, 1) gäller alltid

Hondel skrev:
Du måste skilja på vad X betyder i formelsamlingen och uppgiften.

I formelsamlignen är det beteckningen på en Beta-fördelad variabel.

I uppgiften är det det observerade värdet, och nu har vi istället $\theta |X$ som är en Betafördelad-variabel.

Aa juste. X=>Beta(alfa,B) i formelsamling och i vårt fall(uppgift 12) är det observerade värdet theta|X som är vårt X och är betafördelad?

Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Betingningen i väntevärdet kommer från att det är posterior-fördelningen vi är ute efter. Den fås genom att betinga på data

Nu förstår jag inte. Ska man ej skriva om E(Theta|X=15) som man gör med P(A|B)? Jag ser ej hur E(Theta|X=15)=alfa/(alfa+Beta). Känns som att de har hoppat över en del steg.

Det kommer fram till att $\theta|X=15 \sim Beta(16,4)$ . Därför gäller att $E(\theta|X=15) = 16/(16+4)$ enligt formeln för väntevärdet hos Beta-fördelningen

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Ok ska man bara utan eftertanke tänka sig att U(0,1)=> Beta(1,1)? Jag hade tyvärr inte kommit på detta under en tenta om man ej räknar fram det från scratch.

Det var lite det jag menade med att det känns spontant som en onödigt krånglig twist. Att beta(1,1) är ekvivalent med Uniform(0,1) är väl ganska känt, det dyker upp när man behöver en icke-informativ apriorifördelning. Men tycker som sagt det var rätt klurigt att ha med den detaljen

Aa ok det är alltså bara att komma ihåg för en icke informativ apriorifördelning så gäller U(0,1)=>Beta(1,1)? Vad innebär en icke informativ apriorifördelning och när är det så att vi har en informativ apriorifördelning?

Glöm det där jag sa med icke-informativ apriori-fördelning, det hör inte till uppgiften.

Att Unif(0,1) = Beta(1, 1) gäller alltid

Men varför gäller den alltid? Tänk om vi skulle ha fått Po(2) eller liknande apriorifördelning. Det är inte säkert man kan säga Po(2)=> Beta (2,2)

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Betingningen i väntevärdet kommer från att det är posterior-fördelningen vi är ute efter. Den fås genom att betinga på data

Nu förstår jag inte. Ska man ej skriva om E(Theta|X=15) som man gör med P(A|B)? Jag ser ej hur E(Theta|X=15)=alfa/(alfa+Beta). Känns som att de har hoppat över en del steg.

Det kommer fram till att $\theta|X=15 \sim Beta(16,4)$ . Därför gäller att $E(\theta|X=15) = 16/(16+4)$ enligt formeln för väntevärdet hos Beta-fördelningen

Aa juste. X=>Beta(alfa,B) i formelsamling och i vårt fall(uppgift 12) är det observerade värdet theta|X som är vårt X och är betafördelad?

Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Ok ska man bara utan eftertanke tänka sig att U(0,1)=> Beta(1,1)? Jag hade tyvärr inte kommit på detta under en tenta om man ej räknar fram det från scratch.

Det var lite det jag menade med att det känns spontant som en onödigt krånglig twist. Att beta(1,1) är ekvivalent med Uniform(0,1) är väl ganska känt, det dyker upp när man behöver en icke-informativ apriorifördelning. Men tycker som sagt det var rätt klurigt att ha med den detaljen

Aa ok det är alltså bara att komma ihåg för en icke informativ apriorifördelning så gäller U(0,1)=>Beta(1,1)? Vad innebär en icke informativ apriorifördelning och när är det så att vi har en informativ apriorifördelning?

Glöm det där jag sa med icke-informativ apriori-fördelning, det hör inte till uppgiften.

Att Unif(0,1) = Beta(1, 1) gäller alltid

Men varför gäller den alltid? Tänk om vi skulle ha fått Po(2) eller liknande apriorifördelning. Det är inte säkert man kan säga Po(2)=> Beta (2,2)

Det gäller för att i fallet med Unif så har de exakt samma pdf: f(x)=1 för x mellan 0 och 1, annars är f(x)=0. Och samma pdf = samma fördelning.

Men nej det finns ingen regel som säger att alla fördelningar har en motsvarande Beta-fördelning. Särskilt eftersom Beta är kontinuerligt och bara har stöd mellan 0 och 1. I ditt specifika fall med Poisson är det ju en diskret fördelning med stöd 0, 1, 2, osv.

Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Betingningen i väntevärdet kommer från att det är posterior-fördelningen vi är ute efter. Den fås genom att betinga på data

Nu förstår jag inte. Ska man ej skriva om E(Theta|X=15) som man gör med P(A|B)? Jag ser ej hur E(Theta|X=15)=alfa/(alfa+Beta). Känns som att de har hoppat över en del steg.

Det kommer fram till att $\theta|X=15 \sim Beta(16,4)$ . Därför gäller att $E(\theta|X=15) = 16/(16+4)$ enligt formeln för väntevärdet hos Beta-fördelningen

Aa juste. X=>Beta(alfa,B) i formelsamling och i vårt fall(uppgift 12) är det observerade värdet theta|X som är vårt X och är betafördelad?

Nej, i formelsamlingen är X en beta-fördelad variabel. I uppgiften är X en binomial-fördelad variabel, och theta givet X en Beta-fördelad variabel. Alltså, theta i sig är inte beta-fördelad, inte heller X. Däremot när vi vet vad X är, då blir theta en Beta-fördelad variabel

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Betingningen i väntevärdet kommer från att det är posterior-fördelningen vi är ute efter. Den fås genom att betinga på data

Nu förstår jag inte. Ska man ej skriva om E(Theta|X=15) som man gör med P(A|B)? Jag ser ej hur E(Theta|X=15)=alfa/(alfa+Beta). Känns som att de har hoppat över en del steg.

Det kommer fram till att $\theta|X=15 \sim Beta(16,4)$ . Därför gäller att $E(\theta|X=15) = 16/(16+4)$ enligt formeln för väntevärdet hos Beta-fördelningen

Aa juste. X=>Beta(alfa,B) i formelsamling och i vårt fall(uppgift 12) är det observerade värdet theta|X som är vårt X och är betafördelad?

Nej, i formelsamlingen är X en beta-fördelad variabel. I uppgiften är X en binomial-fördelad variabel, och theta givet X en Beta-fördelad variabel. Alltså, theta i sig är inte beta-fördelad, inte heller X. Däremot när vi vet vad X är, då blir theta en Beta-fördelad variabel

det känns väldigt snurrigt det här. I uppgiften så står det att X givet theta är binomialfördelad och inte bara X (förstår ej hur du tolkar detta). Hur kan det vara så att theta givet X är betafördelad variabel när

förstår inte vad du menar det sista när vi vet vad X är så blir theta betafördelad variabel?

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Oklart varför man slänger in denna detalj i en uppgift, känns lite taskigt och onödigt krångligt. Men men.

När datafördelningen är Binomialfördelningen vet vi att Beta är konjugerad apriori, dvs, om apriori-fördelningen är Beta kommer också aposteriori vara Beta. Så det vore nice om vi hade Beta som apriori.

Men, nu är apriori en Uniform(0,1)-fördelningen. Initialt vet vi då inte vad posterior blir. Men, I just fallet med Uniform(0,1) så är det ett specialfall av beta-fördelningen, nämligen Beta(1,1). Så därför går det att byta ut apriori-fördlenigne mot Beta(1,1), och då har vi färdiga formler

Ok ska man bara utan eftertanke tänka sig att U(0,1)=> Beta(1,1)? Jag hade tyvärr inte kommit på detta under en tenta om man ej räknar fram det från scratch.

Det var lite det jag menade med att det känns spontant som en onödigt krånglig twist. Att beta(1,1) är ekvivalent med Uniform(0,1) är väl ganska känt, det dyker upp när man behöver en icke-informativ apriorifördelning. Men tycker som sagt det var rätt klurigt att ha med den detaljen

Aa ok det är alltså bara att komma ihåg för en icke informativ apriorifördelning så gäller U(0,1)=>Beta(1,1)? Vad innebär en icke informativ apriorifördelning och när är det så att vi har en informativ apriorifördelning?

Glöm det där jag sa med icke-informativ apriori-fördelning, det hör inte till uppgiften.

Att Unif(0,1) = Beta(1, 1) gäller alltid

Men varför gäller den alltid? Tänk om vi skulle ha fått Po(2) eller liknande apriorifördelning. Det är inte säkert man kan säga Po(2)=> Beta (2,2)

Det gäller för att i fallet med Unif så har de exakt samma pdf: f(x)=1 för x mellan 0 och 1, annars är f(x)=0. Och samma pdf = samma fördelning.

Men nej det finns ingen regel som säger att alla fördelningar har en motsvarande Beta-fördelning. Särskilt eftersom Beta är kontinuerligt och bara har stöd mellan 0 och 1. I ditt specifika fall med Poisson är det ju en diskret fördelning med stöd 0, 1, 2, osv.

jag tror inte jag förstår din förklaring justnu och det verkar inte logiskt i mitt huvud. Menar du att betafördelning och uniform fördelning har samma sannolikhet ? jag vet inte om uniformfördelad är samma för betafördelad för att båda varierar mellan 0 och 1 för x. Men i lösningen står det att Beta(1,1) så den biten vet jag inte varför det är så.

Det känns som det blivit flera parallella spår här nu. Har du läst något i din kursbok eller haft någots föreläsningar om Bayesiansk statistik? För detta är en ganska typisk uppgift (förutom att man var tvungen att ha koll på det här med uniform till beta) så kanske att det klarnar bättre om du kollar upp bakgrunden istället för att jag ska få med allting i ett inlägg.

Men jag skriver några grejer

Ja det är sant att X givet theta är Binomial-fördelad. Theta är alltså sannolikheten i ett Bernoulli-försök, så det är alltså en parameter i Binomial-fördelningen.

Aposteriorifördelningen är fördelningen för theta givet data, och om den som i detta fall är en beta-fördelning så betyder det att givet att vi observerar data (X) så kan vi ”uppdatera” vår fördelning för theta från vår initiala apriori-fördelningen till aposteriori-fördelningen.

Angående Uniform och Beta: det gäller inte generellt att vilken Uniform fördelningen kan skrivas om som en Beta-fördelningen. Men i det specifika fallet med Uniform(0,1) och Beta(1,1) så har de samma pdf, och de är alltså exakt samma fördelning, men detta är alltså ett specialfall

Hondel skrev:
Det känns som det blivit flera parallella spår här nu. Har du läst något i din kursbok eller haft någots föreläsningar om Bayesiansk statistik? För detta är en ganska typisk uppgift (förutom att man var tvungen att ha koll på det här med uniform till beta) så kanske att det klarnar bättre om du kollar upp bakgrunden istället för att jag ska få med allting i ett inlägg.

Men jag skriver några grejer

Ja det är sant att X givet theta är Binomial-fördelad. Theta är alltså sannolikheten i ett Bernoulli-försök, så det är alltså en parameter i Binomial-fördelningen.

Aposteriorifördelningen är fördelningen för theta givet data, och om den som i detta fall är en beta-fördelning så betyder det att givet att vi observerar data (X) så kan vi ”uppdatera” vår fördelning för theta från vår initiala apriori-fördelningen till aposteriori-fördelningen.

Angående Uniform och Beta: det gäller inte generellt att vilken Uniform fördelningen kan skrivas om som en Beta-fördelningen. Men i det specifika fallet med Uniform(0,1) och Beta(1,1) så har de samma pdf, och de är alltså exakt samma fördelning, men detta är alltså ett specialfall

Nej jag har inte läst om detta och har ej sett gamla tentor om något sånt förut. Får kika detta med examinatorn så kanske det klarnar lite. Kanske frågar kursare om de har någon aning om detta.

"Angående Uniform och Beta: det gäller inte generellt att vilken Uniform fördelningen kan skrivas om som en Beta-fördelningen. Men i det specifika fallet med Uniform(0,1) och Beta(1,1) så har de samma pdf, och de är alltså exakt samma fördelning, men detta är alltså ett specialfall"

Vad menas med att de har samma pdf?

Hej, Hondel 1617!

Det är en jättebra fråga. Att den likformiga fördelningen U(0,1)är samma sak som $B e t a (1, 1)$ beror på hur deras täthetsfunktioner (pdf) ser ut rent matematiskt.Täthetsfunktionen för en allmän Beta-fördelning skrivs som:

Täthetsfunktionen för en allmän Beta-fördelning skrivs som: $(f (θ) = konstant \cdot θ^{α - 1} (1 - θ)^{β - 1}$ )Om vi sätter in $(a l p h a = 1) o c h (b e t a = 1 \)$ i formeln (vilket gör att vi sätter in nollor i exponenterna) får vi: $(f (θ) = konstant \cdot θ^{1 - 1} (1 - θ)^{1 - 1})$ .

$(f (θ) = konstant \cdot θ^{0} (1 - θ)^{0})$

Eftersom vad som helst upphöjt till 0 blir 1 $(t h e t a^{0} = 1) o c h (1 - t h e t a)^{0} = 1)$ , förenklas hela uttrycket till:

$f (θ) = konstant \cdot 1 \cdot 1 = 1$ )De två fördelningarna har alltså exakt samma matematiska form (en helt rak, konstant linje på höjden 1). Det är därför en standard $U (0, 1)$ -fördelning är precis samma sak som en $B e t a (1, 1)$ -fördelning!

Ledtråd för att komma vidare till svaret:Eftersom du startar med en Beta-fördelning och har mätdata från en Binomialfördelning, kommer din nya aposteriorifördelning också att bli en Beta-fördelning. Parametrarna uppdateras så här:

$α_{ny} = α + x$

$β_{ny} = β + n - x$

I din uppgift är $n = 18$ (totalt antal försök) och $x = 15$ (antal lyckade utfall).När du har räknat ut dina nya värden på $α_{ny}$ och $β_{ny}$ , kan du använda formeln för det betingade väntevärdet (det nya förväntade medelvärdet efter att vi sett datan) i en Beta-fördelning:

fördelning: $E [Θ | X] = \frac{α_{ny}}{α_{ny} + β_{ny}}$

Vad får du för siffror om du testar att sätta in n=18 och x=15 i dessa formler? Säg till om du vill att vi kollar din uträkning! vilket av svarsalternativen (A, B, C eller D) du landar på! Säg till om du vill att vi kollar din uträkning.

Du har i 15.2 skickat formel. Det där är helt rätt formel! Det är den generella uppdateringsregeln för Beta-Binomial-fördelningar, och den visar exakt hur du ska göra.

Eftersom du bara har ett experiment i din uppgift (vilket betyder att $(k = 1)$ , så försvinner summatecknen ∑ och formeln blir mycket enklare. Du behöver bara titta på den första termen i summan:

Du behöver bara titta på den första termen i summan:

För ditt nya alfa: $α_{ny} = α + x_{1}$
För ditt nya beta: $β_{ny} = β + (n_{1} - x_{1})$

Om du sätter in dina startvärden $α = 1, β = 1$ tillsammans med datan från uppgiften $n_{1} = 18 o c h x_{1} = 15$ i formeln ovan, vad får du då för värden på ditt nya alfa och beta?

När du har de två siffrorna är du jättenära att kunna räkna ut väntevärdet!

Fysiker19 skrev:
"Angående Uniform och Beta: det gäller inte generellt att vilken Uniform fördelningen kan skrivas om som en Beta-fördelningen. Men i det specifika fallet med Uniform(0,1) och Beta(1,1) så har de samma pdf, och de är alltså exakt samma fördelning, men detta är alltså ett specialfall"

Vad menas med att de har samma pdf?

Pdf=probability density function. Täthetsfunktion på svenska

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
"Angående Uniform och Beta: det gäller inte generellt att vilken Uniform fördelningen kan skrivas om som en Beta-fördelningen. Men i det specifika fallet med Uniform(0,1) och Beta(1,1) så har de samma pdf, och de är alltså exakt samma fördelning, men detta är alltså ett specialfall"

Vad menas med att de har samma pdf?

Pdf=probability density function. Täthetsfunktion på svenska

tror ej jag håller med om detta. I formelsamlingen så har betafördelningen en annan täthetsfunktion om alfa och Beta är okända. Se de två bilderna nedan. Jag ser i alla fall inte likheten som du har upptäckt.

Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
"Angående Uniform och Beta: det gäller inte generellt att vilken Uniform fördelningen kan skrivas om som en Beta-fördelningen. Men i det specifika fallet med Uniform(0,1) och Beta(1,1) så har de samma pdf, och de är alltså exakt samma fördelning, men detta är alltså ett specialfall"

Vad menas med att de har samma pdf?

Pdf=probability density function. Täthetsfunktion på svenska

tror ej jag håller med om detta. I formelsamlingen så har betafördelningen en annan täthetsfunktion om alfa och Beta är okända. Se de två bilderna nedan. Jag ser i alla fall inte likheten som du har upptäckt.

Det gäller som sagt endast för specialfallet när a=0 b=1 för uniform och alfa=1 och Beta=1 för Beta-fördelningen. Du har fått svar ovan från cehak om det

Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.
För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

cechak skrev:
Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.

För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

Vet inte riktigt varför du adresserar mig, det är inte jag som ställt frågan??? Däremot är jag sugen på kanelbullar, kan du ge mig ett recept?

cechak skrev:
Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.

För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

Okej, men vad händer med gamma(1+0)/gamma(0)gamma(1)?

Hondel skrev:
cechak skrev:
Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.

För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

Vet inte riktigt varför du adresserar mig, det är inte jag som ställt frågan??? Däremot är jag sugen på kanelbullar, kan du ge mig ett recept?

Ja jag undrar om den personen är AI bot eller en riktig människa.

Fysiker19 skrev:
cechak skrev:
Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.

För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

Okej, men vad händer med gamma(1+0)/gamma(0)gamma(1)?

Det är en konstant, kalla den för C. Och eftersom en täthetsfunktionen måste integrerar till 1 kommer konstanten bli

$1=\int_0^1 Cdx = C(1-0)= C$ . Alltså C MÅSTE vara 1 för att vara en giltig täthetsfunktion (och det är ju en täthetsfunktion så det måste stämma)

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
cechak skrev:
Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.

För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

Okej, men vad händer med gamma(1+0)/gamma(0)gamma(1)?

Det är en konstant, kalla den för C. Och eftersom en täthetsfunktionen måste integrerar till 1 kommer konstanten bli

$1=\int_0^1 Cdx = C(1-0)= C$ . Alltså C MÅSTE vara 1 för att vara en giltig täthetsfunktion (och det är ju en täthetsfunktion så det måste stämma)

Varför integrerar du över huvudtaget? Är detta definitionen av en gamma funktion med argument alfa och beta?

Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
cechak skrev:
Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.

För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

Okej, men vad händer med gamma(1+0)/gamma(0)gamma(1)?

Det är en konstant, kalla den för C. Och eftersom en täthetsfunktionen måste integrerar till 1 kommer konstanten bli

$1=\int_0^1 Cdx = C(1-0)= C$ . Alltså C MÅSTE vara 1 för att vara en giltig täthetsfunktion (och det är ju en täthetsfunktion så det måste stämma)

Varför integrerar du över huvudtaget? Är detta definitionen av en gamma funktion med argument alfa och beta?

Läs vad jag skrev igen. Du konstaterade att täthetsfunktion blir gamma(1)/gamma(0)gamma(1). Detta är en konstant, vi kan kalla den konstanten C. Alltså, täthetsfunktion är nu C på intervallet 0 till 1, och 0 utanför intervallet. En egenskap hos täthetsfunktion är att om du integrerar den över hela tallinjen kommer den integrera till 1. Integralen i detta fall blir då den integral jag skrev, som blir C, och C måste därför vara 1. Vi konstaterar då att för Beta(1,1) är täthetsfunktionen 1 på intervallet 0 till 1, och 0 annars. Det är exakt samma täthetsfunktion som uniform(0,1).

Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
Hondel skrev:
Fysiker19 skrev:
cechak skrev:
Hej Hondel! Det är en mycket bra och viktig poäng du lyfter! Det är precis som du säger ett specialfall.Att de har samma pdf (täthetsfunktion) innebär att de två matematiska formlerna som beskriver fördelningarna blir helt identiska på just intervallet. Så här ser det ut:

För Uniform(0,1):Täthetsfunktionen är konstant och har värdet f(x) = 1 för alla x mellan 0 och 1. Det är en helt platt linje.

För Beta(1,1):Om vi sätter in α=1 och β=1 i Beta-fördelningens formel försvinner alla x-termer (eftersom exponenterna blir 0, och x⁰ = 1). Kvar blir bara en konstant som också är exakt 1.

Eftersom båda formlerna sammanfattas med till exakt samma sak — en rak, platt linje med höjden 1 på intervallet mellan 0 och 1 — så beskriver de exakt samma sannolikheter.

Om vi hade haft en Uniform fördelning på ett annat intervall, till exempel Uniform(0,5), så hade höjden på linjen varit 1/5 = 0.2. Den fördelningen går inte längre att skriva som en Beta-fördelning, eftersom en Beta-fördelning per definition alltid är låst till just intervallet mellan 0 och 1.

Hänger du med på varför just intervallet 0 till 1 gör det till ett sådant unikt specialfall?

Okej, men vad händer med gamma(1+0)/gamma(0)gamma(1)?

Det är en konstant, kalla den för C. Och eftersom en täthetsfunktionen måste integrerar till 1 kommer konstanten bli

$1=\int_0^1 Cdx = C(1-0)= C$ . Alltså C MÅSTE vara 1 för att vara en giltig täthetsfunktion (och det är ju en täthetsfunktion så det måste stämma)

Varför integrerar du över huvudtaget? Är detta definitionen av en gamma funktion med argument alfa och beta?

Läs vad jag skrev igen. Du konstaterade att täthetsfunktion blir gamma(1)/gamma(0)gamma(1). Detta är en konstant, vi kan kalla den konstanten C. Alltså, täthetsfunktion är nu C på intervallet 0 till 1, och 0 utanför intervallet. En egenskap hos täthetsfunktion är att om du integrerar den över hela tallinjen kommer den integrera till 1. Integralen i detta fall blir då den integral jag skrev, som blir C, och C måste därför vara 1. Vi konstaterar då att för Beta(1,1) är täthetsfunktionen 1 på intervallet 0 till 1, och 0 annars. Det är exakt samma täthetsfunktion som uniform(0,1).

Jag förstår inte hur en täthetsfunktion blir 1? Det ska vara en funktion. Varför väljer du att integrera ens C? Finns det inte något som säger gamma(4)=4! Eller något sånt. AI säger gamma(n)=(n-1)!

Det var ett sätt att räkna ut vad konstanten blir. Mdn visst, det är väl snabbare att konstatera att gamma(1)/gamma(0)gamma(1)=1/gamma(0)=1/1=1

funktionen f(x)=1 är också en funktion, även om den inte beror på x