Ange det ungefärliga värdet på P-värde

Observera att $1-0.993 = 0.007$, inte $0.07$. Dock ska du inte göra ett z-test här, för vi känner inte till standardavvikelsen och har endast ett fåtal datapunkter. Ibland kan z-test vara okej för större stickprovsstorlekar då t-fördelningen och normalfördelningen närmar sig varandra. P-värdet är alltså $P(t_4\geq 2.457)$, vilket vi kan få ett intervall för genom att titta i en tabell och se att $2.132 < 2.457 < 2.776$, vilket ger att P-värdet ligger mellan 0.025 och 0.05.

Gustor skrev:

Observera att $1-0.993 = 0.007$, inte $0.07$. Dock ska du inte göra ett z-test här, för vi känner inte till standardavvikelsen och har endast ett fåtal datapunkter. Ibland kan z-test vara okej för större stickprovsstorlekar då t-fördelningen och normalfördelningen närmar sig varandra. P-värdet är alltså $P(t_4\geq 2.457)$, vilket vi kan få ett intervall för genom att titta i en tabell och se att $2.132 < 2.457 < 2.776$, vilket ger att P-värdet ligger mellan 0.025 och 0.05.

Yes tack, jag slarvade där.

1)hur vet man när man kan använda z-tabellen eller inte ? jag vet att vi inte känner till standardavvikelse , men det gick ändå att ta fram t_obs och jag tänkte att man kunde ändå ta fram p-värdet mha z-tabellen.

2)Vad menar du med att titta i en tabell och se P- att 2.132<2.457<2.776?

3)var får du 2.132 och 2.776 ifrån? vilket tabell har du tittat på? hur vet du att P-värdet ligger mellan 0.025 och 0.05?

En z-tabell är för en normalfördelning där vi känner till standardavvikelsen $\sigma$ med 100% säkerhet.

När vi inte känner till $\sigma$ skattar vi $\sigma$ med stickprovsstandardavvikelsen $s$. 

Eftersom $s$ beräknas från ett (i detta fall väldigt litet) stickprov så är $s$ självt en slumpvariabel som varierar.

Detta innebär att teststatistikan som beräknas, alltså det du kallar $t_{obs}$, inte längre är normalfördelad.

Därför kan du inte använda en normalfördelning (z-tabell) för att jämföra med $t_{obs}$. Utan du måste använda t-fördelningen istället.

Det är okej att använda normalfördelningen även om vi inte känner till $\sigma$ om stickprovsstorleken är tillräckligt stor (jag ser ofta $n\geq 30$, men egentligen är det godtyckligt). Detta beror på att när stickprovsstorleken är stor så blir t-fördelningen mer och mer lik en normalfördelning.

2)Vad menar du med att titta i en tabell och se P- att 2.132<2.457<2.776?

Öh, på samma sätt man läser av vilken tabell som helst?

I detta fall ska vi läsa av en tabell för t-fördelningen med 4 st frihetsgrader. Om du inte sett detta tidigare måste du gå tillbaka till din kursbok eller föreläsningar. Det är ingen idé att ge sig på uppgifter som dessa utan att känna till grunderna. 

I tabeller finns det inte alla möjliga värden, utan man ser t.ex. att för signifikansnivån 0.05 har vi värdet 2.132, och för signifikansnivån 0.025 har vi värdet 2776. Eftersom vårt beräknade värde 2.457 ligger mellan dessa vet vi att p-värdet ligger mellan 0.025 och 0.05.

Här är ett exempel taget från wikipedia.

Sidenote: just eftersom vi har så litet stickprov ($n=5$) så kommer säkerheten för hypotestestet vara mycket lägre. Du har beräknat att z-test ger p=0.7%, vilket verkar som ett starkt bevis, emedan t-testet ger p=3.5% (eller 2.5%<p<5%) som inte är lika stark evidens. 

Intuitivt så när stickprovet är så litet så varierar slumpvariabeln $s$, alltså stickprovsstandardavvikelsen, såpass mycket att t-fördelningen "straffar" p-värdet påtagligt jämfört med om vi (felaktigt) hade använt normalfördelningen.

Gustor skrev:

En z-tabell är för en normalfördelning där vi känner till standardavvikelsen $\sigma$ med 100% säkerhet.

När vi inte känner till $\sigma$ skattar vi $\sigma$ med stickprovsstandardavvikelsen $s$. 

Eftersom $s$ beräknas från ett (i detta fall väldigt litet) stickprov så är $s$ självt en slumpvariabel som varierar.

Detta innebär att teststatistikan som beräknas, alltså det du kallar $t_{obs}$, inte längre är normalfördelad.

Därför kan du inte använda en normalfördelning (z-tabell) för att jämföra med $t_{obs}$. Utan du måste använda t-fördelningen istället.

Det är okej att använda normalfördelningen även om vi inte känner till $\sigma$ om stickprovsstorleken är tillräckligt stor (jag ser ofta $n\geq 30$, men egentligen är det godtyckligt). Detta beror på att när stickprovsstorleken är stor så blir t-fördelningen mer och mer lik en normalfördelning.

2)Vad menar du med att titta i en tabell och se P- att 2.132<2.457<2.776?

Öh, på samma sätt man läser av vilken tabell som helst?

I detta fall ska vi läsa av en tabell för t-fördelningen med 4 st frihetsgrader. Om du inte sett detta tidigare måste du gå tillbaka till din kursbok eller föreläsningar. Det är ingen idé att ge sig på uppgifter som dessa utan att känna till grunderna. 

I tabeller finns det inte alla möjliga värden, utan man ser t.ex. att för signifikansnivån 0.05 har vi värdet 2.132, och för signifikansnivån 0.025 har vi värdet 2776. Eftersom vårt beräknade värde 2.457 ligger mellan dessa vet vi att p-värdet ligger mellan 0.025 och 0.05.

Här är ett exempel taget från wikipedia.

Ja asså du var tyvärr inte så tydlig med din lösning. Därför undrade jag hur du tittade i tabellen med t-fördelning för jag vet hur man läser av tabeller i boken,men du gjorde lite för snabbt så jag kopplade inte riktigt. Varför används t-fördelning bara för att t_obs beräknades? När man tittar i tabellen så har man ju t_0.05(4)>2.457 eller tittar man på t_alfa(4) =2.457 och ser vilka värden den ligger mellan?

Gustor skrev:

Sidenote: just eftersom vi har så litet stickprov ($n=5$) så kommer säkerheten för hypotestestet vara mycket lägre. Du har beräknat att z-test ger p=0.7%, vilket verkar som ett starkt bevis, emedan t-testet ger p=3.5% (eller 2.5%<p<5%) som inte är lika stark evidens. 

Intuitivt så när stickprovet är så litet så varierar slumpvariabeln $s$, alltså stickprovsstandardavvikelsen, såpass mycket att t-fördelningen "straffar" p-värdet påtagligt jämfört med om vi (felaktigt) hade använt normalfördelningen.

Om n=5 så kan inte z-test användas utan det är n>=30 som gäller för stickprovsstorlek? Jag vet inte om den regeln nämndes i kursboken. Vore intressant att få veta när z-tabellen gäller och ej samt vad det är som gör att t-fördelning är så passande här.  Hur vet du att p=3.5 %? Jag tyckte att vi sa att p-värdet ligger mellan 2.5% samt 5% innan.

Ja asså du var tyvärr inte så tydlig med din lösning.

Jag hade inte avsikten att lösa uppgiften åt dig. Jag tänkte att du kände till t-fördelningen och t-test och tänkte därför att det var tillräckligt att nämna detta först, eftersom alla beräkningar fram tills dess var riktiga.

Varför används t-fördelning bara för att t_obs beräknades?

Inte för att låta otrevlig, men läste du mitt sista inlägg? Jag förklarar tydligt varför t-fördelningen behöver användas i denna situation. Statistikan $t_{obs}$ är inte normalfördelad i detta fall eftersom du beräknar den med $s$ och inte $\sigma$. 

När man tittar i tabellen så har man ju t_0.05(4)>2.457 eller tittar man på t_alfa(4) =2.457 och ser vilka värden den ligger mellan?

Det beräknade värdet $t_{obs}$ blev 2.457. I tabellen ser vi att värdet för signifikansnivå 5% (det vill säga raden som är märkt med 4 och kolumnen som är märkt med 95%) ligger på 2.132 och värdet för 2.5% signifikansnivå (det vill säga raden märkt 4 och kolumnen märkt 97.5%) ligger på 2.776. Vårt värde 2.457 ligger mellan dessa. Det betyder att vårt p-värde måste ligga mellan 2.5% och 5%.

Om n=5 så kan inte z-test användas utan det är n>=30 som gäller för stickprovsstorlek? Jag vet inte om den regeln nämndes i kursboken. Vore intressant att få veta när z-tabellen gäller och ej samt vad det är som gör att t-fördelning är så passande här.

Jag förklarar detta i mitt föregående inlägg... jag tror inte jag kan göra det mer tydligt än så.

Hur vet du att p=3.5 %? Jag tyckte att vi sa att p-värdet ligger mellan 2.5% samt 5% innan.

Om man använder en tabell vet man inte att p=3.5%, eftersom tabellen vanligtvis inte visar så många olika signifikansnivåer (vanligtvis ser man 5%, 2.5%, 1% osv.). Vi har bara kunnat konstatera att $2.5$. Notera att det i uppgiften står att svaret även kan ges i form av ett intervall. Det är denna metod de syftar på.

Däremot kan du använda andra verktyg för att få ett mer exakt värde, t.ex. en grafräknare eller något statistikprogram. Man kan också bara söka på "t-distribution calculator" eller dylikt. Då kan du få ett närmrevärde på p.