Ange det ungefärliga värdet på P-värdet (Matematik/Universitet/Sannolikhet och Statistik)

Bump

Jag är inte riktigt med på vad du gjort. P-värdet är en sannolikhet, så den kan definitivt inte vara mellan 2.81 och 2.9…

Hondel skrev:
Jag är inte riktigt med på vad du gjort. P-värdet är en sannolikhet, så den kan definitivt inte vara mellan 2.81 och 2.9…

Ja jag förstår. Men jag försökte beräkna den där t <t_alfa/2 där man förkastar H₀. Kanske är det fel väg att ta , men jag vet inte hur det är tänkt man ska göra här.

Jag får nog rekommendera dig att titta på någon exempeluppgift som handlar om hypotestest för skillnad mellan medelvärden.

För jag är inte helt säker. Du har ju punkskattningarna av de två medelvärdena, och det stämmer väl att de skattningarna är t-fördelade. Men hur löste du uppgift a? För om du löste den bör du kunna lösa b.

Jag antar att du kan göra en Normal-approximation av skillnaden mellan stickproven och sedan beräkna ett p-värdet under denna approximation. Alltså, du approximerar fördelningarna för $\bar x_1$ och $\bar x_2$ som Normal-fördelningar, då kommer även differensen mellan dem vara en Normal-fördelad variabel, och så kan du beräkna sannolikheten att du observerar att beloppet av denna variabel är större än 0.21

Alternativt kanske det finns något resultat som säger att differensen mellan två t-fördelade variabler är en ny t-fördelad variabel, men den kan man väl fortfarande approximera med Normal-fördelningen

Hondel skrev:
För jag är inte helt säker. Du har ju punkskattningarna av de två medelvärdena, och det stämmer väl att de skattningarna är t-fördelade. Men hur löste du uppgift a? För om du löste den bör du kunna lösa b.

a) var superenkelt för det handlade om KI men b) känns klurigare. Jag lyckades formulera hypoteserna H0 och H1 i b) men problemet är hur jag ska ställa upp med P. Jag tänker vi söker P-värde och definitionen säger ju P=P(förkasta H0|H0 är sann) i b) förkastar vi H0 då u1-u2=0 men sen är det väl där jag kör fast när man ska beräkna osv

Hondel skrev:
Jag antar att du kan göra en Normal-approximation av skillnaden mellan stickproven och sedan beräkna ett p-värdet under denna approximation. Alltså, du approximerar fördelningarna för $\bar x_1$ och $\bar x_2$ som Normal-fördelningar, då kommer även differensen mellan dem vara en Normal-fördelad variabel, och så kan du beräkna sannolikheten att du observerar att beloppet av denna variabel är större än 0.21

Alternativt kanske det finns något resultat som säger att differensen mellan två t-fördelade variabler är en ny t-fördelad variabel, men den kan man väl fortfarande approximera med Normal-fördelningen

Vill du visa vad du menar?

destiny99 skrev:
Hondel skrev:
För jag är inte helt säker. Du har ju punkskattningarna av de två medelvärdena, och det stämmer väl att de skattningarna är t-fördelade. Men hur löste du uppgift a? För om du löste den bör du kunna lösa b.

a) var superenkelt för det handlade om KI men b) känns klurigare. Jag lyckades formulera hypoteserna H0 och H1 i b) men problemet är hur jag ska ställa upp med P. Jag tänker vi söker P-värde och definitionen säger ju P=P(förkasta H0|H0 är sann) i b) förkastar vi H0 då u1-u2=0 men sen är det väl där jag kör fast när man ska beräkna osv

Okej, kan du visa hur du gjorde?

Hondel skrev:
destiny99 skrev:
Hondel skrev:
För jag är inte helt säker. Du har ju punkskattningarna av de två medelvärdena, och det stämmer väl att de skattningarna är t-fördelade. Men hur löste du uppgift a? För om du löste den bör du kunna lösa b.

a) var superenkelt för det handlade om KI men b) känns klurigare. Jag lyckades formulera hypoteserna H0 och H1 i b) men problemet är hur jag ska ställa upp med P. Jag tänker vi söker P-värde och definitionen säger ju P=P(förkasta H0|H0 är sann) i b) förkastar vi H0 då u1-u2=0 men sen är det väl där jag kör fast när man ska beräkna osv

Okej, kan du visa hur du gjorde?

Yes det ska jag göra när jag kommer hem. Har ej sannstat anteckningsblock med mig justnu tyvärr.

För när du löste a använde du fördelningen hos $\bar x_1 -\bar x_2$ , så du kan använda samma fördelning nu

Hondel skrev:
För när du löste a använde du fördelningen hos $\bar x_1 -\bar x_2$ , så du kan använda samma fördelning nu

Här är lösning på a) uppgiften.

Perfekt, där har du ju din fördelning under H0. Nu behöver du bara beräkna vad sannolikheten är att du observerar ett värde större än 0.21, eller mindre än -0.21

Hondel skrev:
Perfekt, där har du ju din fördelning under H0. Nu behöver du bara beräkna vad sannolikheten är att du observerar ett värde större än 0.21, eller mindre än -0.21

Vad menar du med fördelning under H₀ ? Vad menar du med att jag ska beräkna sannolikheten att jag observerar ett värde >0.21 eller mindre än -0.21?

destiny99 skrev:
Hondel skrev:
Perfekt, där har du ju din fördelning under H0. Nu behöver du bara beräkna vad sannolikheten är att du observerar ett värde större än 0.21, eller mindre än -0.21

Vad menar du med fördelning under H₀ ? Vad menar du med att jag ska beräkna sannolikheten att jag observerar ett värde >0.21 eller mindre än -0.21?

Okej, kanske att jag var lite oprecis där.

Men, låt oss gå igenom lite teori först. Du bör ha sett i någon föreläsning eller läst i en bok att om du har två stickprov från två grupper, där den ena gruppen har storlek $n_1$ och den andra $n_2$ , och vi antar att båda stickproven innehåller oberoende urval från Normalfördelningar med medelvärden $\mu_1$ och $\mu_2$ och samma varianser $\sigma$ , ja då kan vi konstruera en ny variabel $T = \frac{\bar x_1 - \bar x_2 - (\mu_1 - \mu_2)}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$ där s är $\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 -1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$ och $s_1^2$ och $s_2^2$ är stickprovsvarianserna. Nu gäller att $T\sim t(n_1 + n_2 - 2)$ , alltså en t-fördelning med $n_1+n_2-2$ frihetsgrader.

Du är då intresserad av KI för $\mu_1 - \mu_2$ , och då kan vi "lösa ut" detta från T och få precis det KI som du skrivit ned eftersom $\mu_1 - \mu_2 = \bar x_1 - \bar x_2 + t * s* \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$ där $t\sim t(40)$ , så variationen för $\mu_1 - \mu_2$ kommer från den t-fördelade variabeln t.

Så, nu har vi rett ut litegrann varför du kommit fram till ditt svar i a). Nu kan vi utnyttja detta: nu vill du jämföra medelvärdena och du kan sätta upp H0 som att $\mu_1=\mu_2 \iff \mu_1 -\mu_2 = 0$ och H1 som $\mu_1 \neq \mu_2 \iff \mu_1 - \mu_2 \neq 0$

Under H0 kommer alltså variablen $\frac{\bar x_1 - \bar x_2}{0.12472}$ (T där jag satt in att $\mu_1-\mu_2 = 0$ vilket den är under H0) vara en t-fördelad variabel med 40 frihets-grader. Nu har du observerat $T* = 0.21 / 0.12472 = 1.6838$ . Så p-värdet kommer nu ges av (eftersom det är ett dubbelsidigt test) P(|T|>T*) = P(|T|>1.6838) = 2*P(T<-16838) (glöm att jag sa att gränsen skulle vara 0.21).

Så, du ska du helt enkelt titta upp vad sannolikheten är att en t-fördelad variabel med 40 frihetsgrader är mindre än -1.68. Men det är kanske inte helt lätt för du har kanske inte en tabell med exakt 40 frihetsgrader, eller så har du en tabell för att göra två-sidigt t-test men du kan inte hitta 1.6838. Så då kan du antingen approximera T som en standard Normal-fördelad N(0, 1) och beräkna sannolikheten för denna Normalfördelade variablen, eller om du tittar i tabellen för två-sidigt test så kanske du ser att det finns två värden på varsin sida om 1.6838, då kan du säga att ditt p-värde är mellan dessa två konfidensgrader (som motsvarar de två värden som ligger på varsin sida om 1.6838)

Obs, jag är inte helt säker på att jag fått alla siffror rätt så kanske att just 1.6838 är felaktigt värde. Men det ger åtminstone ett p-värde på ungefär 0.1, så det skulle ju matcha med att man inte kan förkasta på 1 % (som var slutsatsen i a)-uppgiften)

Hondel skrev:
destiny99 skrev:
Hondel skrev:
Perfekt, där har du ju din fördelning under H0. Nu behöver du bara beräkna vad sannolikheten är att du observerar ett värde större än 0.21, eller mindre än -0.21

Vad menar du med fördelning under H₀ ? Vad menar du med att jag ska beräkna sannolikheten att jag observerar ett värde >0.21 eller mindre än -0.21?

Okej, kanske att jag var lite oprecis där.

Men, låt oss gå igenom lite teori först. Du bör ha sett i någon föreläsning eller läst i en bok att om du har två stickprov från två grupper, där den ena gruppen har storlek $n_1$ och den andra $n_2$ , och vi antar att båda stickproven innehåller oberoende urval från Normalfördelningar med medelvärden $\mu_1$ och $\mu_2$ och samma varianser $\sigma$ , ja då kan vi konstruera en ny variabel $T = \frac{\bar x_1 - \bar x_2 - (\mu_1 - \mu_2)}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$ där s är $\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 -1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$ och $s_1^2$ och $s_2^2$ är stickprovsvarianserna. Nu gäller att $T\sim t(n_1 + n_2 - 2)$ , alltså en t-fördelning med $n_1+n_2-2$ frihetsgrader.

Du är då intresserad av KI för $\mu_1 - \mu_2$ , och då kan vi "lösa ut" detta från T och få precis det KI som du skrivit ned eftersom $\mu_1 - \mu_2 = \bar x_1 - \bar x_2 + t * s* \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$ där $t\sim t(40)$ , så variationen för $\mu_1 - \mu_2$ kommer från den t-fördelade variabeln t.

Så, nu har vi rett ut litegrann varför du kommit fram till ditt svar i a). Nu kan vi utnyttja detta: nu vill du jämföra medelvärdena och du kan sätta upp H0 som att $\mu_1=\mu_2 \iff \mu_1 -\mu_2 = 0$ och H1 som $\mu_1 \neq \mu_2 \iff \mu_1 - \mu_2 \neq 0$

Under H0 kommer alltså variablen $\frac{\bar x_1 - \bar x_2}{0.12472}$ (T där jag satt in att $\mu_1-\mu_2 = 0$ vilket den är under H0) vara en t-fördelad variabel med 40 frihets-grader. Nu har du observerat $T* = 0.21 / 0.12472 = 1.6838$ . Så p-värdet kommer nu ges av (eftersom det är ett dubbelsidigt test) P(|T|>T*) = P(|T|>1.6838) = 2*P(T<-16838) (glöm att jag sa att gränsen skulle vara 0.21).

Så, du ska du helt enkelt titta upp vad sannolikheten är att en t-fördelad variabel med 40 frihetsgrader är mindre än -1.68. Men det är kanske inte helt lätt för du har kanske inte en tabell med exakt 40 frihetsgrader, eller så har du en tabell för att göra två-sidigt t-test men du kan inte hitta 1.6838. Så då kan du antingen approximera T som en standard Normal-fördelad N(0, 1) och beräkna sannolikheten för denna Normalfördelade variablen, eller om du tittar i tabellen för två-sidigt test så kanske du ser att det finns två värden på varsin sida om 1.6838, då kan du säga att ditt p-värde är mellan dessa två konfidensgrader (som motsvarar de två värden som ligger på varsin sida om 1.6838)

I boken står det P(t(X)>=t(x))=P där t(X) är stickprovsvariabeln medan t(x) är den där testvariabeln. Vad är stickprovsvariabeln i vårt fall? jag förstår att t(x) är det som ska beräknas. Men jag förstår inte varför du har absolutbelopp medan definitionen inte säger så. Här finns ett liknande exempel men förstår inte hur de tänker där med P(|U|>3.1). De räknar ut lilla u och får ett negativt svar men gör den positivt sen och från ingenstans står det P( |U|>3.1 ). Använder de sig av det där testet nedan? Där beräknar man ej P-värdet utan avgör mha testvariabeln för att förkasta H0 eller inte.

Jag har tidigare hjälpt dig med hur man kan tänka för att sätta upp hur man beräknar p-värdet. Då sa vi att p-värdet är sannolikheten att du observerar det du observerat, eller något mer extremt. I detta fall har vi ett tvåsidigt test: H1 säger att $\mu_1 - \mu2 \neq 0$ , alltså är både väldigt stora och väldigt negativa värden att ses som extrema.

Så, fördelningen under H0 är t-fördelningen, och du vill beräkna sannolikheten att du observerar 1.6838 eller något ännu mer extremt, vilket kan vara både väldigt stort värde, eller väldigt lågt (negativt) värde. t-fördelningen är symmetrisk, så vi säger då att 1.6838 eller mer extremt kan vara både att du observerar något som är större än 1.6838, eller något som är mindre än -1.6838. Det är alltså samma sak som att säga att vi observerar något vars absolutbelopp är större än 1.6838.

Så, p-värdet är P(|T|>1.6838) = P(T>1.6838) + P(T<-1.6.383) = 2 *P(T<-1.6.383) där den sista likheten kommer från symmetrin hos t-fördelningen som gör att P(T>1.6838) = P(T<-1.6.383).

Man kan avgöra huruvida något är signifikant eller inte genom att jämföra observerade värdet med ett kritiskt värde, genom att beräkna p-värde, eller att titta på KI. Alla dessa kommer ge exakt samma slutsats

Hondel skrev:
Jag har tidigare hjälpt dig med hur man kan tänka för att sätta upp hur man beräknar p-värdet. Då sa vi att p-värdet är sannolikheten att du observerar det du observerat, eller något mer extremt. I detta fall har vi ett tvåsidigt test: H1 säger att $\mu_1 - \mu2 \neq 0$ , alltså är både väldigt stora och väldigt negativa värden att ses som extrema.

Så, fördelningen under H0 är t-fördelningen, och du vill beräkna sannolikheten att du observerar 1.6838 eller något ännu mer extremt, vilket kan vara både väldigt stort värde, eller väldigt lågt (negativt) värde. t-fördelningen är symmetrisk, så vi säger då att 1.6838 eller mer extremt kan vara både att du observerar något som är större än 1.6838, eller något som är mindre än -1.6838. Det är alltså samma sak som att säga att vi observerar något vars absolutbelopp är större än 1.6838.

Så, p-värdet är P(|T|>1.6838) = P(T>1.6838) + P(T<-1.6.383) = 2 *P(T<-1.6.383) där den sista likheten kommer från symmetrin hos t-fördelningen som gör att P(T>1.6838) = P(T<-1.6.383).

Man kan avgöra huruvida något är signifikant eller inte genom att jämföra observerade värdet med ett kritiskt värde, genom att beräkna p-värde, eller att titta på KI. Alla dessa kommer ge exakt samma slutsats

Ja men du verkar inte förklara hur det du beräknar hänger ihop med bilderna samt exempel från #17. Jag får kika på detta via AI istället. Tack för hjälpen!

Sorry, jag är nog inte riktigt med på vad det är du frågar efter

Hondel skrev:
Sorry, jag är nog inte riktigt med på vad det är du frågar efter

Det är ingen fara. Det kanske klarnar efter att jag har ställt frågan till AI och reder ut detta mer. Jag var mest ute efter var du hämtar P(|T|>K) där k är en konstant ifrån och hur man kommer på att p-värdet ska formuleras på det sättet.