Ange en ekvation på normal form för det plan i rummet

Gör en enkel skiss av punkterna. Om du tycker det är jobbigt att rita i tre dimensioner kan du nöjda dig med att markera dem i xy-planet. Då struntar du bara i den sista koordinaten för varje punkt. Märk ut punkternas namn, P,Q och R.

Skapa två vektorer och markera dem i din skiss. Det spelar ingen roll mellan vilka punkter du lägger dina två vektorer. Välj till exempel $\vec{PQ}$ och $\vec{PR}$.

Bilda kryssprodukten. Det är din normal. Visa dina försök och din skiss.

Förstår in pil PQ och pil PR. Vilken kryssprodukt? Är det vektorprodukt du menar? 

Ja, vektorprodukten kallas ibland kryssprodukt.

$\vec{PQ}$ betyder en vektor som börjar punkten P och slutar i punkten Q.

Vektorprodukten skriver man som ett kryss $\vec{n}=\vec{PQ}\times \vec{PR}$

ska man ta Q-P för PQ och R-P för PR? Från Chat. Då får jag nya vektorer. Varför är det så? Är de dessa som jag ska få en normalvektor från genom vektorprodukten av dessa?

Ja, det stämmer. Men det blir lättare för dig att förstå om du först gör en skiss av punkterna i ett plan. Och sedan ritar in vektorerna mellan punkterna.

Att du måste bilda "nya" vektorer beror på att vektorerna ska ligga i planet.  Ortsvektorerna för respektive punkt ligger inte i planet. Däremot ligger vektorer mellan punkterna i planet.

Från spetsen av a till b tar man b-a och från b till a tar man a-b. Se figurer ovan för att förstå det grafiskt.

Är detta rätt

Blir normalvektorn (-5,-2,1) 

Nej, punkten $R=(0,-1,3)$ och vektorn $\vec{PR}=(-1,0,1)$

(Du har fått ett minustecken på 3:an)

okej normalvektorn är (1,-2,1)

vad är nästa steg

Jag löste det, men fattar inte vad w är för något som man inför. Sedan att man tar multiplicerar w med n för att få fram ekvationen fattar jag inte. 

När du har en normalvektor $(1,-2,1)$ ska varje punkt i planet uppfylla normalekvationen

$(1)\cdot x+(-2)\cdot y+(1)\cdot z=C$

$x-2y+z=C$

Där $C$ är en konstant. För att bestämma $C$ sätter du in en av dina punkter i ekvationen. T.ex. $P=(1,-1,2)$. Då får du

$x-2y+z=1-2\cdot(-1)+2=1+2+2=5$

Alltså är $C=5$ och ekvationen blir $x-2y+z=5$

Vill man skriva det lite snitsigare kan man göra det så här

$\mathbf{n}\cdot P=C$

Ekvationen ska vara uppfylld för ALLA punkter i planet, alltså P,R,Q och alla andra punkter (x,y,z) som också ligger planet. Det kan man uttrycka så här

$(1,-2,1)\cdot (x,y,z)=C$

Och det är naturligtvis just planets ekvation. Testa att sätta in någon av dina andra punkter (R,Q) så ser du att de också uppfyller planets ekvation!