51 svar
240 visningar
destiny99 är nöjd med hjälpen
destiny99 6234
Postad: 28 dec 2023 18:21

Ange en formel un som funktion av n

Hej!

Jag skulle behöva vägledning här. Hur börjar man? Jag ser ingen mönster här riktigt.

Nu är min linjära algebra inte vad den brukade vara, men jag skulle nog börja med att definiera en matris A som motsvarar avbildningen F. Därefter skulle jag fundera på vad A·u1A\cdot u_1 blir. :)

destiny99 6234
Postad: 28 dec 2023 21:21 Redigerad: 28 dec 2023 21:23
Smutstvätt skrev:

Nu är min linjära algebra inte vad den brukade vara, men jag skulle nog börja med att definiera en matris A som motsvarar avbildningen F. Därefter skulle jag fundera på vad A·u1A\cdot u_1 blir. :)

Du menar en matris A= (4 1 0 1)? Då ska vi multiplicera A med ( 2e1 ,4e2)?

Ja, så tänker jag. Om un+1=F(un)u_{n+1}=F(u_n), och F(x)=A·xF(x)=A\cdot x, då borde väl un+1=A·un=An·u1u_{n+1}=A\cdot u_n=A^n\cdot u_1? :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 09:50
Smutstvätt skrev:

Ja, så tänker jag. Om un+1=F(un)u_{n+1}=F(u_n), och F(x)=A·xF(x)=A\cdot x, då borde väl un+1=A·un=An·u1u_{n+1}=A\cdot u_n=A^n\cdot u_1? :)

så?

Smutstvätt Online 23353 – Moderator
Postad: 29 dec 2023 10:12 Redigerad: 29 dec 2023 10:13

Jag får A till att bli 

4     0

1       1

(berätta att du skriver från mobilen, utan att berätta att du skriver från mobilen 😄)

Därefter, blir AnA^n verkligen samma sak som att upphöja alla element i A med n? :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 10:20 Redigerad: 29 dec 2023 10:21
Smutstvätt skrev:

Jag får A till att bli 

4     0

1       1

(berätta att du skriver från mobilen, utan att berätta att du skriver från mobilen 😄)

Därefter, blir AnA^n verkligen samma sak som att upphöja alla element i A med n? :)

Jag ser ej hur du får ( 1 1) där ? Jag använde koordinaterna för F(e2) eftersom det står att det är lika med e2. Jag vet ej var e1 tog vägen så jag antog att den är 0.

 

Oj det var en bra fråga. Jag vet faktiskt ej. Det var en gissning bara. 

A blir väl så för att de transformerade enhetsvektorerna ställs upp vertikalt i A? 

Där F(ei)F(e_i) är transformationen av F appliceras på enhetsvektorn eie_i

För F(e2)=e2F(e_2)=e_2 tolkar jag det på samma sätt - e2e_2 förändras inte av F. :)


Tillägg: 29 dec 2023 10:28

Ledsen för ful bild - är på vift och kan inte skriva matriser i latex. :(

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 10:29 Redigerad: 29 dec 2023 10:33
Smutstvätt skrev:

A blir väl så för att de transformerade enhetsvektorerna ställs upp vertikalt i A? 

Där F(ei)F(e_i) är transformationen av F appliceras på enhetsvektorn eie_i

För F(e2)=e2F(e_2)=e_2 tolkar jag det på samma sätt - e2e_2 förändras inte av F. :)


Tillägg: 29 dec 2023 10:28

Ledsen för ful bild - är på vift och kan inte skriva matriser i latex. :(

Nu kanske jag är ute och cyklar ,men e2 kan skrivas som F(e1)-4e1. Så F(e2)=F(e1)-4e1. Om det ej är hjälpsamt vet jag tyvärr ej. Men F(e2)=e2 är ju då ( 0, 1) eller vad är den annars??

 

Ahaaa oj.. jag menade att F(e1) har koordinater ( 4 1) och den andra F(e2) är ju ( 01) så jag hade rätt hela tiden men skrev bara upp fel matris.

Ahaaa oj.. jag menade att F(e1) har koordinater ( 4 1) och den andra F(e2) är ju ( 01) så jag hade rätt hela tiden men skrev bara upp fel matris.

Ursäkta om jag var otydlig, jag håller med dig om koordinatorerna. De har bara hamnat lite fel i matrisen. :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 10:45 Redigerad: 29 dec 2023 10:46
Smutstvätt skrev:

Ahaaa oj.. jag menade att F(e1) har koordinater ( 4 1) och den andra F(e2) är ju ( 01) så jag hade rätt hela tiden men skrev bara upp fel matris.

Ursäkta om jag var otydlig, jag håller med dig om koordinatorerna. De har bara hamnat lite fel i matrisen. :)

 

Ingen fara! Jag fick nu såhär enligt bilden ovan.

Jag håller med om vänsterledet, men hur kommer du till högerledet? Vad blir AnA^n enligt dina beräkningar? :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 11:02
Smutstvätt skrev:

Jag håller med om vänsterledet, men hur kommer du till högerledet? Vad blir AnA^n enligt dina beräkningar? :)

Jag gjorde bara matrismultiplikation men jag vet ej om jag borde ha gjort såhär istället 

(4)^n*2+(0)^n*4 =(4)^n*2

(1)^n*2+(1)^n*4=(1)^n*2+4*(1)^n

Njae, prova med n=3n=3, vad blir A·A·AA\cdot A\cdot A? :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 12:07 Redigerad: 29 dec 2023 12:07
Smutstvätt skrev:

Njae, prova med n=3n=3, vad blir A·A·AA\cdot A\cdot A? :)

A^3? Det kluriga är att det står okänd n.

Det gör det, min poäng med A3A^3 var att påpeka att AnA^n inte är samma sak som att ta alla element i A upphöjt till n. För att beräkna AnA^n behöver du diagonalisera A, och sedan beräkna den matrisprodukten upphöjt till n. 

Diagonalisering brukar användas när matriser upphöjs till tal mer än 3 eller 4, på grund av att det underlättar beräkningarna enormt. :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 12:39
Smutstvätt skrev:

Det gör det, min poäng med A3A^3 var att påpeka att AnA^n inte är samma sak som att ta alla element i A upphöjt till n. För att beräkna AnA^n behöver du diagonalisera A, och sedan beräkna den matrisprodukten upphöjt till n. 

Diagonalisering brukar användas när matriser upphöjs till tal mer än 3 eller 4, på grund av att det underlättar beräkningarna enormt. :)

Vi har ej gått igenom diagonalisering i vår kurs dessvärre.

För just denna matris finns det faktiskt ett mönster, ser jag nu, som kan ses utan att behöva diagonalisera. Men det kräver lite pillande. Vad är A2A^2? Vad är A3A^3? A4A^4? Ser du något mönster? :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 12:56
Smutstvätt skrev:

För just denna matris finns det faktiskt ett mönster, ser jag nu, som kan ses utan att behöva diagonalisera. Men det kräver lite pillande. Vad är A2A^2? Vad är A3A^3? A4A^4? Ser du något mönster? :)

Hm A^2=A*A osv ? Men jag är osäker vad det är för mönster ,kanske A^n*A^(n+1)?

destiny99 skrev:
Smutstvätt skrev:

För just denna matris finns det faktiskt ett mönster, ser jag nu, som kan ses utan att behöva diagonalisera. Men det kräver lite pillande. Vad är A2A^2? Vad är A3A^3? A4A^4? Ser du något mönster? :)

Hm A^2=A*A osv ? 

Jo, det stämmer, men mönstret jag tänker på är unikt för just matrisen A. Prova att beräkna värdena, hur ser de matriserna ut? 

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 13:17
Smutstvätt skrev:
destiny99 skrev:
Smutstvätt skrev:

För just denna matris finns det faktiskt ett mönster, ser jag nu, som kan ses utan att behöva diagonalisera. Men det kräver lite pillande. Vad är A2A^2? Vad är A3A^3? A4A^4? Ser du något mönster? :)

Hm A^2=A*A osv ? 

Jo, det stämmer, men mönstret jag tänker på är unikt för just matrisen A. Prova att beräkna värdena, hur ser de matriserna ut? 

Jaha okej. Jag väljer att räkna bara upp till A^2 eftersom A^3 kräver mer beräkning. Men detta är i alla fall vad jag fått.

Laguna Online 27742
Postad: 29 dec 2023 17:05

Om du gör A3 också kanske man ser mönstret.

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 17:08
Laguna skrev:

Om du gör A3 också kanske man ser mönstret.

Ja den fick jag till (64 21 0 1)

Om du undviker att förenkla exempelvis 424^2 när du räknar, ser du något mönster som framträder då? Mönstren är olika för alla element, ska sägas. 

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 17:32 Redigerad: 29 dec 2023 17:32
Smutstvätt skrev:

Om du undviker att förenkla exempelvis 424^2 när du räknar, ser du något mönster som framträder då? Mönstren är olika för alla element, ska sägas. 

Jaa det gör jag. 4^n och sen 4^n+1? Det är dessa mönster jag ser

PATENTERAMERA 5240
Postad: 29 dec 2023 18:18

Vi har att An ser ut att ha formen

An4n0an1.

Frågan är hur man skall hitta enkelt uttryck för komponenten an.

Det går att härleda en rekursionsformel för an.

a1 = 1

an+1 = 4n + an.

Mha detta så går det att härleda ett explicit uttryck för hur an beror av n. 

Är du säker på att ni inte gått igenom diagonalisering?

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 18:38 Redigerad: 29 dec 2023 18:39
PATENTERAMERA skrev:

Vi har att An ser ut att ha formen

An4n0an1.

Frågan är hur man skall hitta enkelt uttryck för komponenten an.

Det går att härleda en rekursionsformel för an.

a1 = 1

an+1 = 4n + an.

Mha detta så går det att härleda ett explicit uttryck för hur an beror av n. 

Är du säker på att ni inte gått igenom diagonalisering?

Nej vi har ej gått igenom diagnolisering i kursen i alla fall ej inom matematik I på SU.

Jag är ej med på rekursionsformel metoden

PATENTERAMERA 5240
Postad: 29 dec 2023 19:01

Säg att du räknat fram An och fått An4n0an1.

Du vill beräkna An+1.

An+1 = AAn 40114n0an1= … . Vad får du an+1 till?

PATENTERAMERA 5240
Postad: 29 dec 2023 20:11

Har ni gått igenom egenvärden och egenvektorer?

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 21:36
PATENTERAMERA skrev:

Har ni gått igenom egenvärden och egenvektorer?

Nope

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 21:37
PATENTERAMERA skrev:

Säg att du räknat fram An och fått An4n0an1.

Du vill beräkna An+1.

An+1 = AAn 40114n0an1= … . Vad får du an+1 till?

Men varför står det a^n under 4^n? 

Smutstvätt Online 23353 – Moderator
Postad: 29 dec 2023 21:39 Redigerad: 29 dec 2023 21:39

Om du inte förenklar efter varje steg (det är inte särskilt intuitivt, men i detta fall hjälper det), får du att:

4011·...·4011·4011·4011·4011=4011·...·4011·4011·424+1=4011·...·4011·4342+4+1=4011·...·4443+42+41+1

AnA^n verkar vara en vektor med elementen 4n4^n och 4n-1+...+41+404^{n-1}+...+4^1+4^0 (där den senare är en geometrisk summa med n termer och k=4k=4), samt 0 och 1. :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 21:52 Redigerad: 29 dec 2023 21:54
Smutstvätt skrev:

Om du inte förenklar efter varje steg (det är inte särskilt intuitivt, men i detta fall hjälper det), får du att:

4011·...·4011·4011·4011·4011=4011·...·4011·4011·424+1=4011·...·4011·4342+4+1=4011·...·4443+42+41+1

AnA^n verkar vara en vektor med elementen 4n4^n och 4n-1+...+41+404^{n-1}+...+4^1+4^0 (där den senare är en geometrisk summa med n termer och k=4k=4), samt 0 och 1. :)

Okej så A^n är=4*( 4^n-1)/(4-1)

Nästan! a1a_1 i den geometriska summan, men i övrigt stämmer det. Så vad blir då An·u1A^n\cdot u_1? :)

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 22:15 Redigerad: 29 dec 2023 22:18
Smutstvätt skrev:

Nästan! a1a_1 i den geometriska summan, men i övrigt stämmer det. Så vad blir då An·u1A^n\cdot u_1? :)

Vad är a1 i vårt fall? Såhär fick jag 

PATENTERAMERA 5240
Postad: 29 dec 2023 22:36
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Säg att du räknat fram An och fått An4n0an1.

Du vill beräkna An+1.

An+1 = AAn 40114n0an1= … . Vad får du an+1 till?

Men varför står det a^n under 4^n? 

Det står inte a upphöjt till n, utan n är ett index. an är (An)21. Dvs ett av elementen i matrisen An.

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 22:39 Redigerad: 29 dec 2023 22:41
PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Säg att du räknat fram An och fått An4n0an1.

Du vill beräkna An+1.

An+1 = AAn 40114n0an1= … . Vad får du an+1 till?

Men varför står det a^n under 4^n? 

Det står inte a upphöjt till n, utan n är ett index. an är (An)21. Dvs ett av elementen i matrisen An.

Hur beräknar jag A^(n+1)? Såhär fick jag

PATENTERAMERA 5240
Postad: 29 dec 2023 22:52

Precis. Och vi ser då att an+1 = (An+1)21 = 4n + an. Vilket således ger rekursionsformeln. Men det är nog enklare att göra som smutstvätt, eftersom det står ganska klart att man får en geometrisk summa.

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 23:00 Redigerad: 29 dec 2023 23:17
PATENTERAMERA skrev:

Precis. Och vi ser då att an+1 = (An+1)21 = 4n + an. Vilket således ger rekursionsformeln. Men det är nog enklare att göra som smutstvätt, eftersom det står ganska klart att man får en geometrisk summa.

Ok. Jag väntar svar från smutstvätt då. Systemet säger att jag har fel svar

destiny99 skrev:
Smutstvätt skrev:

Nästan! a1a_1 i den geometriska summan, men i övrigt stämmer det. Så vad blir då An·u1A^n\cdot u_1? :)

Vad är a1 i vårt fall? Såhär fick jag 

Jag får det till 4n04n-13124=2·4n2·4n+103, så det talar för att svaret är un+1=2·4n·e1+2·4n+103·e2, stämmer inte det? :)


Tillägg: 29 dec 2023 23:27

Det går även att förenkla 4n4^n till 22n2^{2n}, vilket kanske systemet önskar sig istället. 

destiny99 6234
Postad: 29 dec 2023 23:41 Redigerad: 29 dec 2023 23:56
Smutstvätt skrev:
destiny99 skrev:
Smutstvätt skrev:

Nästan! a1a_1 i den geometriska summan, men i övrigt stämmer det. Så vad blir då An·u1A^n\cdot u_1? :)

Vad är a1 i vårt fall? Såhär fick jag 

Jag får det till 4n04n-13124=2·4n2·4n+103, så det talar för att svaret är un+1=2·4n·e1+2·4n+103·e2, stämmer inte det? :)


Tillägg: 29 dec 2023 23:27

Det går även att förenkla 4n4^n till 22n2^{2n}, vilket kanske systemet önskar sig istället. 

Hur får du 4^n och 4^n-1/3? Varför har du och jag ej samma värden? Vad gör jag för fel?

Och nej ditt svar är ej korrekt. 

PATENTERAMERA 5240
Postad: 30 dec 2023 00:01

Smutstvätt skrev formeln för un+1. Man vill ha un.

destiny99 6234
Postad: 30 dec 2023 07:21 Redigerad: 30 dec 2023 07:22
PATENTERAMERA skrev:

Smutstvätt skrev formeln för un+1. Man vill ha un.

Ja det märkte jag ej ens men hur kommer jag på vad un är då? Och varför får jag un+1 när frågan handlar om un?

PATENTERAMERA 5240
Postad: 30 dec 2023 12:04

Du ersätter väl bara n med n - 1 överallt i formeln. Inte så svårt. 

destiny99 6234
Postad: 30 dec 2023 12:08 Redigerad: 30 dec 2023 12:10
PATENTERAMERA skrev:

Du ersätter väl bara n med n - 1 överallt i formeln. Inte så svårt. 

Men varför har smutstvätt börjat med 4^n i geometriska serien och sen skrivit att det un+1 när själva frågan handlade om att hitta un? Det måste ha blivit ett missförstånd här. och nu säger du att jag ska byta allt mot un-1. Det är lite förvirrande nu känner jag. Jag håller ej på med uppgiften ännu tills jag märker att det är förståeligt från min sida vad som händer.

PATENTERAMERA 5240
Postad: 30 dec 2023 12:13

Det står i texten att un+1 = F(un) = enligt vår analys = Anu1.

Så uppenbart har vi då att un = An-1u1.

destiny99 6234
Postad: 30 dec 2023 12:29 Redigerad: 30 dec 2023 12:29
PATENTERAMERA skrev:

Det står i texten att un+1 = F(un) = enligt vår analys = Anu1.

Så uppenbart har vi då att un = An-1u1.

Jag vet ej om jag är helt med här. Men om man har A^n-1 och mutliplicerar med u1 så har man svaret i un? Jag ser ej att vi har en analys med A^n-1,men antar att du tog den för att vi ska få svaret i un.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Du ersätter väl bara n med n - 1 överallt i formeln. Inte så svårt. 

Men varför har smutstvätt börjat med 4^n i geometriska serien och sen skrivit att det un+1 när själva frågan handlade om att hitta un?

Jag läste fel. :(

Det måste ha blivit ett missförstånd här. och nu säger du att jag ska byta allt mot un-1. Det är lite förvirrande nu känner jag. Jag håller ej på med uppgiften ännu tills jag märker att det är förståeligt från min sida vad som händer.

Nu har vi räknat med un+1=Fun=An·u1, men vi behöver hitta un=Fun-1=An-1·u1

Skillnaden är inte så stor – A blir 4n-104n-1-131. :)

destiny99 6234
Postad: 30 dec 2023 13:28 Redigerad: 30 dec 2023 13:29
Smutstvätt skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Du ersätter väl bara n med n - 1 överallt i formeln. Inte så svårt. 

Men varför har smutstvätt börjat med 4^n i geometriska serien och sen skrivit att det un+1 när själva frågan handlade om att hitta un?

Jag läste fel. :(

Det måste ha blivit ett missförstånd här. och nu säger du att jag ska byta allt mot un-1. Det är lite förvirrande nu känner jag. Jag håller ej på med uppgiften ännu tills jag märker att det är förståeligt från min sida vad som händer.

Nu har vi räknat med un+1=Fun=An·u1, men vi behöver hitta un=Fun-1=An-1·u1

Skillnaden är inte så stor – A blir 4n-104n-1-131. :)

Ingen fara. Men varför un-1? Det är just det jag ej förstår. Det var väldigt tydligt när du skrev un+1=F(un).  Jag antar att vi ska multiplicera An-1 med u1= (2,4) för att få svaret?

destiny99 skrev:
Smutstvätt skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Du ersätter väl bara n med n - 1 överallt i formeln. Inte så svårt. 

Men varför har smutstvätt börjat med 4^n i geometriska serien och sen skrivit att det un+1 när själva frågan handlade om att hitta un?

Jag läste fel. :(

Det måste ha blivit ett missförstånd här. och nu säger du att jag ska byta allt mot un-1. Det är lite förvirrande nu känner jag. Jag håller ej på med uppgiften ännu tills jag märker att det är förståeligt från min sida vad som händer.

Nu har vi räknat med un+1=Fun=An·u1, men vi behöver hitta un=Fun-1=An-1·u1

Skillnaden är inte så stor – A blir 4n-104n-1-131. :)

Ingen fara. Men varför un-1? Det är just det jag ej förstår. Det var väldigt tydligt när du skrev un+1=F(un).  Jag antar att vi ska multiplicera An-1 med u1= (2,4) för att få svaret?

Uppgiften ger en rekursiv formel i form av un+1=Fun, så det innebär att steget innan dess, för att hitta unu_n, blir un=Fun-1

Vi försöker hitta en formel som inte är rekursiv, som vi har kommit fram till är lika med un+1=Fun=An·u1. :)

destiny99 6234
Postad: 30 dec 2023 13:49
Smutstvätt skrev:
destiny99 skrev:
Smutstvätt skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Du ersätter väl bara n med n - 1 överallt i formeln. Inte så svårt. 

Men varför har smutstvätt börjat med 4^n i geometriska serien och sen skrivit att det un+1 när själva frågan handlade om att hitta un?

Jag läste fel. :(

Det måste ha blivit ett missförstånd här. och nu säger du att jag ska byta allt mot un-1. Det är lite förvirrande nu känner jag. Jag håller ej på med uppgiften ännu tills jag märker att det är förståeligt från min sida vad som händer.

Nu har vi räknat med un+1=Fun=An·u1, men vi behöver hitta un=Fun-1=An-1·u1

Skillnaden är inte så stor – A blir 4n-104n-1-131. :)

Ingen fara. Men varför un-1? Det är just det jag ej förstår. Det var väldigt tydligt när du skrev un+1=F(un).  Jag antar att vi ska multiplicera An-1 med u1= (2,4) för att få svaret?

Uppgiften ger en rekursiv formel i form av un+1=Fun, så det innebär att steget innan dess, för att hitta unu_n, blir un=Fun-1

Vi försöker hitta en formel som inte är rekursiv, som vi har kommit fram till är lika med un+1=Fun=An·u1. :)

Okej så ska bara byta ut A^n mot An-1 som du gjorde ovan ?

Japp, då bör du få rätt svar! :)

Svara Avbryt
Close