ange ett hörns koordinater

Bra tänkt.

Har du ritat en bild som visar de möjliga kvadraterna?

Ja, jag har ritat en bild som visar en kvadrat. Om mittpunkten på en sida är (5,5) så måste väl samtliga sidor vara 10 enheter långa? Men sedan vet jag inte hur jag skall gå vidare?

Sidorna är inte 10 le långa och det stämmer ju inte heller med vad du skrev.

Dra en cirkelbåge i första kvadranten med origo som medelpunkt och radien $\sqrt{41}$ le. På den ska ett hörn ligga.

Markera punkten (5, 5), mittpunkten på en sida.

Nu kan du se hur kvadraterna kan ligga och att ekvation och lösning blir precis som du skrev.

Jag tycker fortfarande att om mittpunkten på en sida är (5,5), så borde sidan vara 10 enheter? Men eftersom hypotenusan är $\sqrt{41}$så ser man att 41 = 10²+x² inte stämmer eftersom 10²>41. Om man istället ersätter 10² med 5² får man ekvationen 41=5⁵+x², och då får man x=$\sqrt{16}$=4. Men jag kan som sagt inte motivera varför en sida är 5 l e, när den borde vara 10 l e! Jag försöker verkligen rita, men får inte till det. Hursomhelst, om man ändå kommer fram till att sidorna är 5 resp. 4 enheter, vilka blir då hörnets koordinater (4,5) eller (5,4)?

Henrik skrev:

Jag tycker fortfarande att om mittpunkten på en sida är (5,5), så borde sidan vara 10 enheter? 

Varför det? I så fall skulle ju en av kvadratens sidor sammanfalla med någon av koordinataxlarna, och det finns inget som säger att det ska vara så.

Visa din bild så kanske vi kan reda ut missförståndet.

Skulle du kunna rita en bild som exempel, jag förstår verkligen inte var i koordinatsystemet kvadraten skulle kunna placeras?

Nej du kan rita kvadraten, det är bra träning.

Men jag kan hjäloa dig. Börja så här:

Rita nu förslagsvis en horisontell linje genom den röda punkten. Välj godtycklig längd, men låt den sticka ut lika långt åt höger som åt vänster.

Det är nu en av kvadratens fyra sidor.

Den motstående sidan kan nu vara ovanför eller under den första.

Välj något av dessa alternativ och rita en lika lång parallell linje.

Avståndet mellan dessa båda linjer ska vara lika stort som linjernas längd.

Rita slutligen de två vertikala sidorna så att det bildas en kvadrat.

Visa din bild.

Till ett av hörnen i kvadraten skall avståndet vara $\sqrt{41}$, men det finns ju 4 hörn så hur skall man veta vilket hörn. Vidare hamnar ju hörnen på helt olika ställen beroende på hur lång den godtyckliga linjen är. 

Om vi väljer det hörn som befinner sig närmast origo får vi ekvationen 41=5²+x², vilket ger x=4. Väljer vi det bortre nedre hörnet får vi också ekvationen 41=5²+x². Väljer vi däremot ngt hörn på den parallella linjen beror y-koordinaten helt och hållet på hur lång vi valt att göra den godtyckliga linjen. Har jag löst uppgiften om jag väljer ett hörn på den godtyckliga linjen och beräknar koordinaterna mha ekvationen 41=5²+x², vilket ger att x=4? Alltså har hörnet vi söker koordinaterna (4,5)?

Genom att rita en cirkelbåge, som jag föreslog förut, ser du bättre de olika möjligheterna. Det finns alltså flera. De två större kvadrater som jag ritat kan speglas neråt respektive åt vänster. Både (4,5) och (5,4) är lösningar.

Den lilla kvadraten har inte hörnet på heltalskoordinater.

Aj, det missade jag. Tack! Rättar.