Ange funktionen b(n)

$E\left(X^n\right)={\int }_0^{\infty }{x}^{n}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\infty }{x}^n\lambda e^{-\lambda x}dx$.

Sedan skulle jag försöka med partialintegration.

PATENTERAMERA skrev:

$E\left(X^n\right)={\int }_0^{\infty }{x}^{n}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\infty }{x}^n\lambda e^{-\lambda x}dx$.

Sedan skulle jag försöka med partialintegration.

Ah ok smart. Hm men n är okänd när man räknar ut integralen här eller ska man bara få fram något på E(X^n) utan att bry sig om vad n är.

Det gäller generellt för n = 1, 2, 3, …. . 

Uppgiften (a) handlar ju om att hitta ett samband mellan $\displaystyle \int_0^\infty x^n \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$ och $\displaystyle \int_0^\infty x^{n-1} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$. Det här sambandet skall gälla för alla möjliga tal $n$. Prova partiell integration för att hitta sambandet (vilket föreslagits i #2).

I uppgift (b) får du nog använda resultatet av (a)-uppgiften för att få något värde på $\mathbb{E}(X^n)$ som en funktion av $n$.

PATENTERAMERA skrev:

$E\left(X^n\right)={\int }_0^{\infty }{x}^{n}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\infty }{x}^n\lambda e^{-\lambda x}dx$.

Sedan skulle jag försöka med partialintegration.

Varför integrerar vi från 0till inf och inte från -inf till inf? Är det för att för exp fördelning så integrerar vi enbart från 0 till inf?

destiny99 skrev:

Är det för att för exp fördelning så integrerar vi enbart från 0 till inf?

Ja

LuMa07 skrev:

Uppgiften (a) handlar ju om att hitta ett samband mellan $\displaystyle \int_0^\infty x^n \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$ och $\displaystyle \int_0^\infty x^{n-1} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$. Det här sambandet skall gälla för alla möjliga tal $n$. Prova partiell integration för att hitta sambandet (vilket föreslagits i #2).

 

I uppgift (b) får du nog använda resultatet av (a)-uppgiften för att få något värde på $\mathbb{E}(X^n)$ som en funktion av $n$.

Så långt kom jag. Men HL blir ju bara 0 och det känns konstigt om vi ska bilda ett förhållande mellan E(Xⁿ)/E(X^n-1) för att hitta b(n). 

PATENTERAMERA skrev:

Precis. Såhär får jag. Jag tror sökta funktionen b(n)=n/lambda

Ser rätt ut.

PATENTERAMERA skrev:

Ser rätt ut.

Ok. Nu är det så jag inte vet hur det blir med b) uppgiften.  Jag försökte lösa integralen för E(X^n-1) 

Jag vet inte om denna lösning nedan är logiskt för jag får typ E(Xⁿ)=nE(Xⁿ) och sen får vi två lösningar då n=1 och E(Xⁿ)=0. n får ju inte vara 1 så E(Xⁿ)=0

Använd formeln från a) och rekursion.

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } \\ E\left(X^2\right)=\frac{2}{\lambda }E\left(X\right)=\frac{2}{{\lambda }^2} \\ E\left(X^3\right)=\cdots \\ ⋮ \\ E\left(X^n\right)=\cdots \end{gathered}$$

PATENTERAMERA skrev:

Använd formeln från a) och rekursion.

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } \\ E\left(X^2\right)=\frac{2}{\lambda }E\left(X\right)=\frac{2}{{\lambda }^2} \\ E\left(X^3\right)=\cdots \\ ⋮ \\ E\left(X^n\right)=\cdots \end{gathered}$$

Jaha man ska ej räkna sig fram. Men n får inte vara 1 ju, det börjar från n=3,4,5

Nej, det är tänkt att man skall använda rekursion.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, det är tänkt att man skall använda rekursion.

Ok och rekursion är vad vi fick i a)?

Ja en rekursionsformel. Jag använder att E(X) = 1/lambda som ett känt värde.

PATENTERAMERA skrev:

Ja en rekursionsformel. Jag använder att E(X) = 1/lambda som ett känt värde.

Okej jag fick att E(Xⁿ) blir typ såhär om man ser det här mönstret upprepa sig i oändlighet. Men det blir konstigt dock om n=1. Chat säger att det borde bli n! /lambda^n vilket lät mer logiskt.

PATENTERAMERA skrev:

Precis så gjorde AI också. Hade rätt på det här med lambda^n men täljaren var fel i #19