Ange funktionen b(n)

$E\left(X^n\right)={\int }_0^{\infty }{x}^{n}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\infty }{x}^n\lambda e^{-\lambda x}dx$.

Sedan skulle jag försöka med partialintegration.

PATENTERAMERA skrev:

$E\left(X^n\right)={\int }_0^{\infty }{x}^{n}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\infty }{x}^n\lambda e^{-\lambda x}dx$.

Sedan skulle jag försöka med partialintegration.

Ah ok smart. Hm men n är okänd när man räknar ut integralen här eller ska man bara få fram något på E(X^n) utan att bry sig om vad n är.

Det gäller generellt för n = 1, 2, 3, …. . 

Uppgiften (a) handlar ju om att hitta ett samband mellan $\displaystyle \int_0^\infty x^n \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$ och $\displaystyle \int_0^\infty x^{n-1} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$. Det här sambandet skall gälla för alla möjliga tal $n$. Prova partiell integration för att hitta sambandet (vilket föreslagits i #2).

I uppgift (b) får du nog använda resultatet av (a)-uppgiften för att få något värde på $\mathbb{E}(X^n)$ som en funktion av $n$.

PATENTERAMERA skrev:

$E\left(X^n\right)={\int }_0^{\infty }{x}^{n}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\infty }{x}^n\lambda e^{-\lambda x}dx$.

Sedan skulle jag försöka med partialintegration.

Varför integrerar vi från 0till inf och inte från -inf till inf? Är det för att för exp fördelning så integrerar vi enbart från 0 till inf?

destiny99 skrev:

Är det för att för exp fördelning så integrerar vi enbart från 0 till inf?

Ja

LuMa07 skrev:

Uppgiften (a) handlar ju om att hitta ett samband mellan $\displaystyle \int_0^\infty x^n \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$ och $\displaystyle \int_0^\infty x^{n-1} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx$. Det här sambandet skall gälla för alla möjliga tal $n$. Prova partiell integration för att hitta sambandet (vilket föreslagits i #2).

 

I uppgift (b) får du nog använda resultatet av (a)-uppgiften för att få något värde på $\mathbb{E}(X^n)$ som en funktion av $n$.

Så långt kom jag. Men HL blir ju bara 0 och det känns konstigt om vi ska bilda ett förhållande mellan E(Xⁿ)/E(X^n-1) för att hitta b(n). 

PATENTERAMERA skrev:

Precis. Såhär får jag. Jag tror sökta funktionen b(n)=n/lambda

Ser rätt ut.