Ange i exakt form koordinaterna för maxpunkter
Hej! Tänker jag rätt?
Du behöver göra ett teckenstudium av y´för att avgöra om de båda lokala extrempunkterna du funnit råkar vara maximipunkter. Uppgiften frågar efter "maxpunkter". Ta reda på hur din bok definierar detta begrepp. Det kan skilja sig från begreppet "lokalt maximum", som är det som du hittills behandlat.
Frågan är något otydlig. Då får man svara på allt det den skulle kunna betyda och förklara att man gör på det viset utifrån olika möjliga tolkningar av frågan.
De kan mena lokala maxpunkter. Då måste du a) ta fram vilka av dina rötter som ligger i intervallet och b) undersöka om de är maxpunkter eller ej
De kan mena max för funktionen inom intervallet. Då måste man alltid beräkna f(x) i intervallgränserna. Dessa x är ju givna och hittas inte med derivatan eftersom derivatan förstås inte behöver vara 0 i gränserna.
Programmeraren skrev:Frågan är något otydlig. Då får man svara på allt det den skulle kunna betyda och förklara att man gör på det viset utifrån olika möjliga tolkningar av frågan.
De kan mena lokala maxpunkter. Då måste du a) ta fram vilka av dina rötter som ligger i intervallet och b) undersöka om de är maxpunkter eller ej
De kan mena max för funktionen inom intervallet. Då måste man alltid beräkna f(x) i intervallgränserna. Dessa x är ju givna och hittas inte med derivatan eftersom derivatan förstås inte behöver vara 0 i gränserna.
Vi löste ju en liknande fråga tillsammans där man skulle hitta korsikanerna för maxpunkterna då löste vi den på exakt det sättet som jag gjorde. Att först derivera funktionen och sen sätta cos värdet till 1 för då antar funktionen sitt största värde. Varför kan inte den här metoden tillämpas i den här frågan
Ja du kan tolka den om att de efterfrågar lokal maxpunkt och inte max i intervallet.
Och då är det rätt löst förutom att du måste visa att det är en maxpunkt och inte en minpunkt.
Det jag skrev ovan var en påminnelse om hur du göra om de efterfrågar max y-värde i hela intervallet.
(Det var inte cos(v)=1 du löste, du löste korrekt f'(x)=2cos(x)-1=0)
aha så jag skulle enbart ha behövt titta på cos(x)=1
När de efterfrågar min och maxpunkter, ska man alltid derivera då?
Katarina149 skrev:aha så jag skulle enbart ha behövt titta på cos(x)=1
Nej tvärtom. Du ska titta på och derivera HELA funktionen precis som du gjorde (men i #4 skrev du tvärtom, därför påtalade jag det).
För att hitta extrempunkter deriverar man och sätter derivatan lika med 0.
För att veta om det är en max- eller minpunkt gör man teckenstudium eller tar fram andraderivatan och kontrollerar tecknet för rötterna.
OM och endast om talet frågar efter max och min hela intervallet så kontrollerar man även f(x) intervallgränserna eftersom de kan råka vara min eller max.
När du menar att titta på och derivera hela funktionen
Så menar du väl att man ska göra så här :
y=2sin x - x
y’= 2cos x -1
Funktionen har sitt maximala värde då
cos x = 1
x = 0 + 2pi * n
Så ska man göra NÄSTAN, du löser fel. Du ska ju sätta derivatan lika med 0
Du läste rätt från början i lösningen du la i frågan.
Varför ska jag sätta derivatan lika med 0? Om jag vill hitta maxpunkter? Räcker det inte med att vara derivera om sen titta på när cosinus antar värdet 1?
Nej! SUPERVIKTIGT att inte tro det alltid gäller!! Det gäller endast när man bara har sin/cos, då finns det ju ingen punkt som kan vara ovanför eller under den kurvan. En sin/cos är ju "horisontell" och varierar i y-led mellan medelvärde+/-amplitud.
Alla andra funktioner kan se ut hur som helst. Funktionen i uppgiften:
Vad menar du med den här meningen ”Det gäller endast när man bara har sin/cos, då finns det ju ingen punkt som kan vara ovanför eller under den kurva”
Hur menar du med när man endast har sin/cos?
Men vi har ju gjort flertals uppgifter som gick ut på att först derivera en funktion. Därefter titta på när sinus eller cosinus antar sitt största värde 1 , då kommer man se maxpunkterna…? Eller? För nu blir jag förvirrad.
Du har haft MASSOR av uppgifter med funktioner av typen f(x)=A+Bsin(kx+C). När du deriverar den får du f'(x)=kBcos(kx+C) och den är ju 0 när cos(kx+C) är 0. Därför har du vant dig vid att gå direkt på sin/cos och bortse från amplituden eftersom den divideras bort.
Men har du en funktion som t ex 5x^4 + 2sin(x) måste du ta hänsyn till hela funktionen. Precis som du gjorde i lösningen när du la upp frågan.
Du menar att om det inte hade funnits en konstant som adderas eller subtraheras med sin/cos då hade jag kunnat direkt räkna med att sätta sin elr cos =1 för att hitta maxpunkterna. Men i det här fallet får man bredvid ”2cos(x)” en konstant term -1 .. Är det därför jag inte kan anta att cos(x)=1 utan måste kolla på hela funktionen . Derivera den och sätta den lika med 0. Och därefter undersöka maxpunkterna och min punkterna
f(x)=2sinx - x. x är ingen konstant. "-1" är ju derivatan av "-x".
Men egentligen behöver du inte minnas något:
Derivera alltid hela funktionen och sätt lika med 0 för att hitta extrampunkterna.
Men i vilka typer av frågor som man sätta sin() =1 eller cos()=1? Är det inte när man vill hitta maxpunkterna? När ska man använda den metoden som du just nu beskriver där man först ska derivera funktionen och sen undersöka vilken av lösningarna som ger Max/min. Och när ska man använda metoden där man enbart tittar på när sin() och cos() = 1 för då får man ju en maxpunkt när cosinus antar sitt största värde 1
Om du vill hitta maxvärdet för f(x)=A+Bsin(x+C) så behöver man inte derivera eftersom man vet att den är max då sin(x+C) är max, dvs då sin(x+C)=1.
A+Bsin(x+C) lutar ju inte. Y-värdet är alltid mellan A-B och A+B. Då är det onödigt att derivera men det fungerar förstås.
Det är SÅ viktigt att tänka på vad man gör och inte upprepa mönster.
f(x) sinx - x lutar nedåt. Om x = 100 är f(x) cirka -100. Så spelar det ingen roll vad sin(x) är.
Om vi tillexempel jämför med den här uppgiften som vi tidigare har löst så skulle man först derivera g(t) och sen titta när sinus värdet =1 för att hitta funktionen maxvärde…
Vänta med den. Vi tar mitt svar först.
Programmeraren skrev:Om du vill hitta maxvärdet för f(x)=A+Bsin(x+C) så behöver man inte derivera eftersom man vet att den är max då sin(x+C) är max, dvs då sin(x+C)=1.
A+Bsin(x+C) lutar ju inte. Y-värdet är alltid mellan A-B och A+B. Då är det onödigt att derivera men det fungerar förstås.Det är SÅ viktigt att tänka på vad man gör och inte upprepa mönster.
f(x) sinx - x lutar nedåt. Om x = 100 är f(x) cirka -100. Så spelar det ingen roll vad sin(x) är.
Menar du att jag i den frågan enbart ska titta på
2*sin x=1
Och att jag inte behöver derivera funktionen?
Nu skriver du något som är en blandning av funktionen i frågan och dess derivata. Sänk tempot och var mer noggrann.
f(x)=2sinx - x
f'(x)=2cosx - 1
Och jag har UTTRYCKLIGEN förklarat att du INTE kan bortse från halva funktionen.
Hitta extrempunkter:
1) Derivera funktionen
2) Sätt derivatan lika med noll
3) Ta fram rötterna
4) Kontrollera vilken/vilka som är min- eller maxpunkt genom teckenstudium eller genom att sätta in punkterna i andraderivatan
5) Om ett intervall är givet, använd perioden för att ta fram alla rötterna i intervallet
För vissa typer av funktioner kan man ta en genväg och på så sätt slippa derivera.
Det gäller funktioner där man vet att värdet alltid ligger mellan två värden som t ex sin eller cos.
En funktion på formen f(x)=A+Bsin(kx+C) har minsta värde A-B och största A+B.
Eftersom vi dessutom vet att max för sin(v) inträffar då v=pi/2 (och att sin(-pi/2)=-1), kan vi direkt se att max för f(x) inträffar då kx+C=pi/2 (under förutsättning att A>0).
Okej. Nu förstår att det är pga ”-x” som vi måste derivera och sätta derivatan lika med 0. Om det inte hade stått ”-x” och istället ett vanligt tal som ex 4 då hade jag kunnat titta på enbart sinusfunktionen och sätta den lika med 1 för att hitta maxpunkten
Programmeraren skrev:Hitta extrempunkter:
1) Derivera funktionen
2) Sätt derivatan lika med noll
3) Ta fram rötterna
4) Kontrollera vilken/vilka som är min- eller maxpunkt genom teckenstudium eller genom att sätta in punkterna i andraderivatan
För vissa typer av funktioner kan man ta en genväg och på så sätt slippa derivera.
Det gäller funktioner där man vet att värdet alltid ligger mellan två värden som t ex sin eller cos.
En funktion på formen f(x)=A+Bsin(kx+C) har minsta värde A-B och största A+B.
Eftersom vi dessutom vet att max för sin(v) inträffar då v=pi/2 (och att sin(-pi/2)=-1), kan vi direkt se att max för f(x) inträffar då kx+C=pi/2 (under förutsättning att A>0).
Yngve förklarade att man inte behöver använda andra derivata utan man kan lösa ut x värden som man får genom att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0. Sen kan man sätta in x värdena som man får i ursprungliga ekvationen och undersöka vilket y värde som är störst inom intervallet . Men det här gäller för trigonometriska funktioner
Katarina149 skrev:Okej. Nu förstår att det är pga ”-x” som vi måste derivera och sätta derivatan lika med 0. Om det inte hade stått ”-x” och istället ett vanligt tal som ex 4 då hade jag kunnat titta på enbart sinusfunktionen och sätta den lika med 1 för att hitta maxpunkten
Exakt!
Katarina149 skrev:Yngve förklarade att man inte behöver använda andra derivata utan man kan lösa ut x värden som man får genom att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0. Sen kan man sätta in x värdena som man får i ursprungliga ekvationen och undersöka vilket y värde som är störst inom intervallet
Ja så kan man göra eftersom du då jämför värdena och kan hitta den största max eller den minsta min.
Men i en uppgift där det finns flera lokala min-och maxpunkter och alla ska redovisas kan man inte jämföra y-värden. En lokal maxpunkt kan ju ligga under en lokal minpunkt. Så generellt behöver man kunna undersöka extrempunkter och avgöra om min eller max.
Katarina149 skrev:
Isåfall är min uträkning inte rätt va?
Den är nästan rätt eftersom du undersöker dina två extrempunkter.
Felet är att du undersöker x=-pi/3 och den är inte i intervallet. x=-pi/3+2pi är det däremot (det är minpunkten). Eftersom f(x) inte är en ren sinus har den för x=-pi/3+2pi ett helt annat y-värde än för x=-pi/3. Se bilden i #12 för punkterna.
Du har även undersökt intervallgränserna vilket vi inte var säkra på om de menade att man behövde men bra eftersom det kanske är så.
Menar du att det enda felet som jag har gjort är att jag inte uteslöt -pi/3 som inte ligger i intervallet? Annars är svaret väl rätt och uträkningen?
Det enda felet var att du inte "flyttade" -pi/3 till -pi/3+2pi för att få den inom intervallet.
Titta på bilden i #12. Den markerade minpunkten är för x=-pi/3+2pi
Du menar att jag skulle ha räknat med att
-pi/3 + (2pi) = 5pi/3 vilket även ligger inom intervallet vilket vi kan undersöka (y värdet)
Ja. Uppdaterad beskrivning med tillagd punkt 5:
Hitta extrempunkter:
1) Derivera funktionen
2) Sätt derivatan lika med noll
3) Ta fram rötterna
4) Kontrollera vilken/vilka som är min- eller maxpunkt genom teckenstudium eller genom att sätta in punkterna i andraderivatan
5) Om ett intervall är givet, använd perioden för att ta fram alla rötter i intervallet
f(5pi/3)=2*sin(5pi/3) -1 ~ (-0.817) det är mindre än sqrt(3) - pi/3
Alltså är svaret det som jag skrev i #29 (på bilden)
Mitt svar måste alltså vara rätt. Stämmer det?
Ja, men du räknade fel. "-x" ska det vara, inte "-1". Men då blir det ännu mindre.
Kan du markera exakt vart felet är?
f(5pi/3)=2*sin(5pi/3) -1
Men f(x) = 2sinx - x
Jaha det ska vara f(5pi/3)= 2*sin(5pi/3)-(5pi/3)
fortfarande är det samma x värde som är störst. Mitt svar ovan stämmer. Det enda jag måste fixa är det jag nyss skrev
Ja.
Lärdomarna från talet är:
1) Derivera alltid hela funktionen för att hitta extrempunkter. "Genvägen" kan endast användas då funktionen är en cos eller sin med endast konstanter för övrigt.
2) Ta fram alla rötter inom efterfrågat intervall och undersök dem
Lägger till att man även ska undersöka ändpunkterna om de har angett ett intervall
Ja. På ett prov kan man ev fråga vad de menar om frågan är otydlig. Kan man inte det får man skriva båda svaren och ange två varianter av tolkning+svar
