Ange kontinuerlig funktion, inversa bilden ej sammanhängande, flervaribel

Ser ju rätt hopplöst ut först - alltså försök hitta ett enklare men likadant fall. T.ex.  en kontinuelrig funktion R till R vars inversa bild av intervallet 1 till 2 inte är sammanhängande.  Lätt som en plätt  $y = x^2$ .   Nåt liknande måste ju funka i två dimensioner också ...

matsC skrev:

Ser ju rätt hopplöst ut först - alltså försök hitta ett enklare men likadant fall. T.ex.  en kontinuelrig funktion R till R vars inversa bild av intervallet 1 till 2 inte är sammanhängande.  Lätt som en plätt  $y = x^2$ .   Nåt liknande måste ju funka i två dimensioner också ...

Funkar ditt exempel verkligen?

Liknelsen vore här att säga

f = x^2 och D = [1,2]

f([1,2]) = [1,4]

Tar vi inversa funktionsmängder lite slarvigt så är

f^-1([1,4]) = [-2,-1] ∪ [1,2]

vilket ser osammanängande ut. 

Men det ignorerar faktumet att f^-1([1,4]) också måste vara en delmängd till D = [1,2](!!!).

Notera $(x,y) \in D$ i uttrycket:

$f^{-1}(D) = \{(x,y) \in R^2 : (x,y) \in D \}$

dvs vi kan inte slänga in [-2,-1] och utropa inversa mängden som osammanhängande eftersom definitionsmängden endast involverade positiva tal.

Eller missar jag något?

SeriousCephalpod  du har alldeles rätt, jag missade detta villkor. Men vidhåller grundidén att hitta analoga men enklare problem för att få uppslag till lösningar.

Det måste vara typo. Som det står skulle det enbart betyda att f^-1(D) = D. Men D är väl sammanhängande, så det går inte i hop.

Håller med. det har nog fallit bort ett f - det borde stå att f(x,y) ska ligga i D det är ju defintionen av inversa bilden.

Hjälp att tyda? Förstår inte implikationen efter f(x,y)=(|x|,y)

Svar:

Här är en idé bara. Avbilda en cirkelskiva med centrum i (2,0) och radien 0,5 med identiten. Bilden blir då densamma. Försök sedan, om det går, att avbilda t ex cirkelringen med centrum i (2,0), inre radien= 2 och yttre =3 på cirkelringen  med centrum i (2,0), inre radie = 0,5 och yttre = 1 (en s k kontraktion). Då blir bilden den angivna, men inversa bilden =de två osammanhängande mängderna av dels den inre cirkelskivan och dels den utanför liggande cirkelringen. Att betänka är, att det inte hade gått åt motsatta hållet, dvs en avbildning av den givna cirkeln på en osammanhängande mgd. "Bilden av sammanhängande är sammanhängande" men inte tvärtom.

dfdfdf

urbilden blir D och dess spegelbild, en cirkel med centrum i (-2,0) och radien 1

( dvs den avbildas också in i D av f )

dfdfdf skrev:

Hjälp att tyda? Förstår inte implikationen efter f(x,y)=(|x|,y)

Svar:

Tomten skrev:

 "Bilden av sammanhängande är sammanhängande" men inte tvärtom.

Jag tror du menar "Bilden av ej sammanhängande är sammanhängande" men inte tvärtom.

Snygg bild, bra förklaringar. 

Slutsats: x kan vara neg/pos vilket ger 2 cirklar med centrum i +-(2,0)

Rätt?

Precis. Både (x, y) och (-x, y) mappas till samma punkt (abs(x), y). Dvs båda cirklarna till vänster mappas på cirkeln till höger. Eftersom cirklarna är öppna så blir området ej sammanhängande, då origo inte finns med.

PATENTERAMERA skrev:

Precis. Både (x, y) och (-x, y) mappas till samma punkt (abs(x), y). Dvs båda cirklarna till vänster mappas på cirkeln till höger. Eftersom cirklarna är öppna så blir området ej sammanhängande, då origo inte finns med.

Juste de är öppna, då fattar jag varför de inte är sammanhängade.

Om vi istället hade: $x^2+y^2+3\le 4x$

med samma förutsättningar, då hade inte f(x,y)=(|x|,y) funkat?

Pga att de är slutna istället och blir sammanhängande

Ledsen att behöva förstöra den tjusiga bilden med de två cirklarna på ömse sidor om y-axeln. De har origo som gemensam punkt. En mängd definieras som osammanhängande omm det finns två disjunkta öppna mängder som omfattar den givna mängden och det finns det inte här.

Ledsen igen. Kan ha läst fel.

Tomten skrev:

Ledsen igen. Kan ha läst fel.

Tror bilden var en intuitiv uppfattning om hur det ska se ut, igentligen borde de vara streckade. 

Ja, streckade hade varit tydligare.