Ange lösningarna till ekvationen cos v=-a

Katarina149 skrev:

Jag tänker att det kan vara 360-v1 

Nej det stämmer inte riktigt.

Använd enhetscirkeln för att illustrera frågan.

Markera ett tal a någonstans mellan 0 och 1 på den horisontella axeln. Rita en vertikal linje genom den punkten. Rita en radie som träffar enhetscirkeln vid den horisontella linjen.

Markera nu talet -a och gör på samma sätt här.

Då ser du symmetrin och inser kanske att det finns en formel som ger ett samband mellan dessa vinklar.

för cos(v)=a och cos(-v)=a har samma vinkel enda skillnaden är att cos(-v) är negativ och ligger i andra kvadraten.

Nej, v och -v är inte samma vinkel. Däremot har cos(v) och cos(-v) samma värde.

Men det här resonemanget gäller om 90 >v>0 grader
Hur ska man tänka när 360 >v>0 ?

Se min första kommentar. Den gäller oavsett intervall.

Tillägg: 10 dec 2021 20:16

Jag skrev att radien ska träffa den horisontella linjen, men jag menade den vertikala linjen.

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

Jag tänker att det kan vara 360-v1 

Nej det stämmer inte riktigt.

Använd enhetscirkeln för att illustrera frågan.

Markera ett tal a någonstans mellan 0 och 1 på den horisontella axeln. Rita en vertikal linje genom den punkten. Rita en radie som träffar enhetscirkeln vid den horisontella linjen.

Markera nu talet -a och gör på samma sätt här.

Då ser du symmetrin och inser kanske att det finns en formel som ger ett samband mellan dessa vinklar.

för cos(v)=a och cos(-v)=a har samma vinkel enda skillnaden är att cos(-v) är negativ och ligger i andra kvadraten.

Nej, v och -v är inte samma vinkel. Däremot har cos(v) och cos(-v) samma värde.

Men det här resonemanget gäller om 90 >v>0 grader
Hur ska man tänka när 360 >v>0 ?

Se min första kommentar. Den gäller oavsett intervall.

Jag förstår inte hur jag ska rita figuren 

Du läste nog inte riktigt vad jag skrev.

• Blå = Enhetscirkeln.
• Röd = Den radie som träffar enhetscirkeln vid den vertikala linjen.
• Svart = Vertikal linje vid -a.
• Lila = Den radie som träffar enhetscirkeln vid den andra vertikala linjen.

Okej. Jag förstår inte hur jag ska kunna ange lösningarna till ekvationen cos v = -a och uttrycka lösningarna i v1

Ska man tänka att sin(180-v)=sin(v)

(Jag förstår helt ärligt inte ens vad frågan är) dvs vad man frågar efter i uppgiften 

Jag ritade enhetscirkeln lite slarvigt, men tydligen ser du ändå symmetrin i bilden. Det är bra.

Det de efterfrågar är den lila vinkeln, uttryckt i v.

Sin(v)=sin(180-v)

vi vet att cos² (x) + sin²(x)=1

a² + sin²(x)=1

a² = 1- sin²(x) 

a= sqrt(1-sin²(a))

Den lila är sin(180-v) , alltså är det samma värde på x fast negativ alltså -a. 

-a= -sqrt(1-sin²(a)) 

Så tänker jag 

Du krånglar till det.

Leta efter en formel som anger ett samband mellan cos(v) och cos(180°-v) i din formelsamling 

-cos(v)=cos(180-v)

Ja.

1. Ser du att den formeln stämmer med skissen jag gjorde?
2. Och kan du då säga vad lösningarna till cos(v) = -a är?

”Ser du att den formeln stämmer med skissen jag gjorde?” .. Nej jag ser inte det

Jämför med hur sambandet sin(v) = sin(180°-v) brukar illustreras i enhetscirkeln.

Då är det en horisontell linje och två vinklar (v och 180°-v) som pekar ut skärningspunkterna mellan linjen och enhetscirkeln.

=======

När det gäller sambandet cos(v) = -cos(180°-v) så är det istället två vertikala linjer, symmetriskt placerade på var sin sida om origo.

Och två vinklar (v och 180°-v) som pekar ut skärningspunkterna mellan linjerna och enhetscirkeln.

Kan du förklara det du skriver mha en bild? För jag hänger inte med

sin(v) = sin(180°-v):

cos(v) = -cos(180°-v):

Jaha okej nu blev det tydligare.

Men hur kan de här bilderna hjälpa oss med att lösa uppgiften cos v= -a

Du vet att cos(v₁) = a. Det betyder att -cos(v₁) = -a.

Använd nu formeln.

-cos(v)=cos(180-v) 

-a = cos(180-v) 

?

Ja, fast det ska stå v₁ och inte v. Och du ska skriva gradersymbolen ° efter talen, annars anger du vinklarna I radianer.

Och det betyder att en lösning till ekvationen cos(v) = -a är 180°-v_Q.

Nu gäller det för dig att hitta den andra (i intervallet).

-a= cos(180* -v₁)     [*=grader] 

Hur hittar jag den andra lösningen? Ska jag tänka -cos(v)=-(-a) = a?

Tänk "plusminus"

Jaha . Menar du att a kan vara +a och -a

Nej, jag menar att vinkeln, vi kan kalla den w, kan vara w eller -w. Detta eftersom cos(w) = cos(-w)

Jag förstår inte riktigt hur man ska tänka. Vi får fortsätta med just den här uppgiften imorgon istället

Om en lösning till cos(v) = -a är v = 180°-v₁ så är en annan lösning till samma ekvation v = -(180°-v₁) = v₁-180°.

Alla lösningar till ekvationen kan då skrivas

v = 180°-v₁+n•360°

v = v₁-180°+n•360°

Det här hängde jag inte med på alls 

Vi börjar lite enklare.

Vilket/vilka av följande påståenden fastnar du på?

1. Ekvationen cos(v) = b har lösningarna v = $\pm$ arccos(b) + n•360°.
2. Om vi vet att ekvationen cos(v) = b har en lösning som t.ex. är w₁ så vet vi alltså att även -w₁ är en lösning.
3. Eftersom cosinusfunktionen har en periodicitet på 360° så är ekvationens alla lösningar då v = w₁+n•360° och v = -w₁+n•360°.
4. I denna uppgift är w₁ = 180°-v₁, dvs en lösning till ekvationen cos(v) = -a är v = 180°-v₁.
5. Eftersom -w₁ = v₁-180° så är även en lösning v = v₁-180°.
6. Det innebär att ekvationen i denna uppgift har lösningarna v = 180°-v₁+n•360° och v = v₁-180°+n•360°.

”Om vi vet att ekvationen cos(v) = b har en lösning som t.ex. är w1 så vet vi alltså att även -w1 är en lösning till ekvationen ” det här hängde jag inte med på 

Det måste vara så eftersom cos(w₁) = cos(-w₁).

Ja juste okej nu förstår jag steg 2

Öva på att gå från cos-värde till vinkel och från vinkel till cos-värde. Prova sen att byta tecken på cos-värdet och leta fram de vinklar som ger det värdet mha enhetscirkeln.

https://www.geogebra.org/m/arab9vsq

jag har testat använda den här länken med jag förstår inte hur jag ska använda den till hjälp för att lösa den uppgiften?

Jag är helt övertygad om att problemet med dessa uppgifter är att du inte riktig vet hur du använder enhetscirkeln.

Öva på att gå från cos-värde till vinkel och från vinkel till cos-värde. Prova sen att byta tecken på cos-värdet och leta fram de vinklar som ger det värdet mha enhetscirkeln.

Men länken kan du undersöka vilken vinkel du vill. Med bilderna ovan kan du undersöka cos(v)=0,5 och cos(v)=-0,5

Det går lika bra att rita enhetscirkeln på papper. Viktigt att dra linjen x=a för cos (och y=a för sin) för att se vilka två vinklar som bildas.