Ange två olika funktioner som har derivatan 2 för x = 0

Pröva med några olika funktioner.

Förslag:

• En linjär funktion f(x) = ax+b
• En andragradsfunktion f(x) = ax²+bx+c.
• En exponentialfunktion f(x) = C•e^x (om ni har lärt er att derivera sådana).

Kommer du vidare då?

Jag vet inte vad jag ska räkna ut?

Du ska föreslå två olika funktioner som har derivatan 2 vid x = 0, dvs du ska föreslå två olika funktioner f(x) som uppfyller villkoret f'(0) = 2.

Det kan du göra på följande sätt:

• Derivera dessa tre funktioner. Du får då tre olika derivator f'(x).
• Lös sedan ekvationerna f'(0) = 2.
• Om du hittar lösningar så kan du bestämma värden på a, b, c och C som ger just det som efterfrågas.

OBS! Det är olika värden på a och b i de olika fallen.

Visa alla dina uträkningar.

Okej, jag antog en funktion till en början som blev x² - 2x.

Sedan med hjälp av derivatans definition fick jag derivatan - 2 för funktionen för x = 0.

Men jag skulle få 2 så jag ändrade bara minus tecknet i funktionen till +. Då fick jag derivatan 2.

Alltså x² + 2x.

Funkar detta?

Pröva! Derivera, sätt x = 0 och se vad du då får för värde.

=========

Använder ni derivatans "h-definition" eller har ni börjat använda deriveringsregler typ att derivatan av xⁿ är n•x^n-1?

Nej vi har precis börjat, vi använder ej "xⁿ..."

Visa alla steg i hur du deriverar x²+2x.

x² + 2x

lim h -> 0 f(x + h) - f(x)         ( alla dessa steg delat på h)

(x + h)² + 2(x + h) - (x² + 2x) =

x² + 2xh + h² + 2x + 2h - x² - 2x =

2xh + h² + 2h =

h(2x + h + 2) =

dela med h, då stryks h.

2x + h + 2

h -> 0

2x + 0 + 2 =

2x + 2 =

x = 0

kvar blir 2

Snyggt. Det du just gjort är att du har använt det som kallas "derivatans h-definition".

Göt nu på samma sätt med f(x) = ax+b.

Men behåll a och b som obekanta storheter hela vägen.

Ahaa! tacksåmycket.

Pröva gärna att även göra samma beräkning med f(x) = C•e^x.