Ännu ett Induktionsbevis

De har förlängt bråken till minsta gemensamma nämnare, och skrivit ihop dem som ett bråk!

Men när jag gör der blir det bara fel.. ska posta en bild

Jag fattar verkligen inte

Hmm... Det var några mellansteg jag insåg att jag glömt att infoga i mitt svar. Såhär:

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) \\ \frac{(n+1)!}{k!·(n+1-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!·(n-(k-1\left)\right)!}+\frac{n!}{k!·(n-k)!} \end{gathered}$$

Vi förlänger nämnarna till MGN, som då blir $(k-1)!·(n+1-k)!·k!·(n-k)!$. (Eftersom allt redan är ganska kladdigt skriver jag inte ut VL nedan) Vi skriver allt på samma bråkstreck, och får då:

$\frac{\left(n!·(n-k)!·k!\right)+\left(n!·(n+1-k)!·(k-1)!\right)}{k!·(k-1)!·(n-k)!·(n+1-k)!}$ (Puh!)

Nu vill vi försöka bryta ut så mycket som det bara någonsin är möjligt, så att vi slipper skriva ut allting (och bevisar det hela, men det är mindre viktigt än att spara knapptryck ;) ).

Vi har ett k!-uttryck, och ett (k - 1)!-uttryck. $k!=k·(k-1)·(k-2)·(k-3)·...·2·1$. Alltså kan vi skriva: $k!=k·(k-1)!$ Vi kan göra något liknande med $(n-k+1)!$, och skriva om det som $(n-k+1)·(n-k)!$. Då kan vi bryta ut några faktorer och få:

$\frac{n!·(n-k)!·(k-1)!·(k+\left(n+1-k\right))}{k!·(k-1)!·(n-k)!·(n+1-k)!}$

Förenkla lite och summera parentesen i täljaren, och vi får:

$\frac{n!·(n+1)}{k!·(n+1-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!·(n+1-k)!}=\left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right)$

Vilket var vad vi skulle visa. Börjar det klarna lite?