Antal lösningar i homogena linjära system

Hej! Jag vill dubbelkolla om jag tänker rätt kring homogena ekvationssystem.

Om vi har ett homogent system Ax = 0, där A är en m × n-matris och m < n, så tänker jag så här:

Max antal ledande ettor (alltså maximal rank) är m, eftersom det bara finns m rader
Om rank(A) = m så finns det exakt n - m fria variabler ( dvs n-m är minst lika med 1)
Om rank(A) < m, så finns det ännu fler fria variabler
Alltså finns det alltid minst en fri variabel när m < n

Man kan skriva uppgiften ovan som: Ax = b, där A är en 3 × 4-matris (alltså m × n där m < n). Vi vet även att b = nollvektorn. Därav måste uppgiften ovan ha oändligt många lösningar (enligt förklaring ovan)

Stämmer mitt resonemang?

Ja, det stämmer. Ett (kanske) enklare sätt är att resonera mer matematiskt

Låt $r$ vara antalet bundna variabler. Då måste $r\leq m$ (Antalet bundna variabler $\leq$ antalet rader). Alltså

$(n>m)$ OCH $(m\geq r) \implies n>r$ Alltså har systemet oändligt antal lösningar.

(Lösningsdimensionen ges av $n-r>0$ , då $n=r$ är systemet entydigt)

Jag tycker både brunbjörns och D4NIEL:s förklaringar är utmärkta, men blir lite nyfiken på den här formuleringen:

D4NIEL skrev:
Ett (kanske) enklare sätt är att resonera mer matematiskt

Vad menar du med adverbet "matematiskt" här? :)

Med "mer matematiskt" menar jag att det för de flesta studenter är det lättare att använda algebra, logiska symboler eller funktioner snarare än formuleringar som "så finns det _ännu fler_ fria variabler". Det är mer ett praktiskt tips än ett politiskt ställningstagande kring vad "matematiskt" betyder.

Som examinator ger jag naturligtvis inte poängavdrag för "pratiga" svar så länge resonemanget går att följa.

Svara

Visa senaste svar