4 svar
468 visningar
dajamanté behöver inte mer hjälp
dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 6 jan 2019 07:14

Antal lösningar till en system

När man räknar för vilken tal determinanten har oändlig många/inga lösningar: 

- i 2×2 2 \times 2 systemen, är det alltid en tal som ger oändligt många och en tal som ger inga lösningar alls?

- hur blir det i större system?

AlvinB 4014
Postad: 6 jan 2019 21:07

Ett ekvationssystem med nn variabler och nn ekvationer kan beskrivas som en likhet Ax=bAx=b där AA är en n×nn\times n-matris som beskriver en linjär avbildning. Om determinanten för matrisen är nollskild finns endast en lösning till ekvationssystemet eftersom transformationen då är injektiv (varje vektor har en unik avbildning).

Är determinanten lika med noll har man antingen oändligt många lösningar (parameterlösning) eller inga lösningar alls beroende på om vektorn i högerledet ligger i bildrummet för den linjära avbildningen eller ej.

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 7 jan 2019 10:32
AlvinB skrev:

Är determinanten lika med noll har man antingen oändligt många lösningar (parameterlösning) eller inga lösningar alls beroende på om vektorn i högerledet ligger i bildrummet för den linjära avbildningen eller ej.

 Jag typ förstår men inte 100%. Hur hänger vektor i högerledet med det?

Vad representerar lösningarna av den karakteristiska ekvation för determinanten? Spelar dem något roll för nollrummet? Eller något huvudtaget?

AlvinB 4014
Postad: 7 jan 2019 13:29

När vi har ett ekvationssystem beskrivet med:

Ax=bAx=b

där AA är en n×nn\times n-matris, bb är en (känd) vektor och xx är en (okänd) vektor kan vi tänka det som att vi skall hitta en vektor xx sådan att när vi applicerar transformationen som beskrivs av AA på vektorn får vi vektorn bb, d.v.s. vi vill hitta vektorn xx som avbildas på bb. Om determinanten är nollskild (d.v.s. matrisen har maximal rang) kommer det alltid att gå att hitta precis en sådan vektor xx eftersom alla möjliga vektorer bb ingår i bildrummet.

När determinanten är lika med noll betyder det att transformationen "trycker ihop" rummet så att det får mindre dimension. Då ingår inte alla möjliga vektorer bb i bildrummet längre, eftersom bildrummet inte är av dimension nn. Om bb inte ingår i bildrummet blir ekvationssystemet olösligt, och om bb ingår i bildrummet blir det oändligt många lösningar (eftersom hoptryckningen av rummet gör att oändligt många vektorer xx avbildas på vektorn bb).

Egenvärdena är inte till så mycket hjälp vid just ekvationssystem. Visserligen är determinanten lika med produkten av egenvärdena, men det är ju snarare en omväg om man vill beräkna determinanten.

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 7 jan 2019 13:59

🍺!

Svara
Close