22 svar
417 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 556
Postad: 10 mar 2019

Antal lösningar till linjärt ekvationssystem för alla reella tal a

Man ska bestämma antal lösningar till följande linjära ekvationssystem för alla reella tal a:

(4-a)x1+2x2-x3=12x1+(1-a)x2-2x3=-2-x1+2x2+(4-a)x3=1

och jag har försökt med additionsmetoden, men det blev alltför krångligt.

Jag tänkte man skulle ställa upp ekvationerna i matrisform. Är det bästa sättet tror ni?

Men där finns ju både x1, x2 och x3  samt a.

Jag är osäker på hur jag ställer upp i matrisform när a finns med.

Har ni några råd om bästa sättet att börja med denna uppgift?

Dr. G 4305
Postad: 10 mar 2019

Jag skulle nog helt enkelt lösa ekvationssystemet. a är visserligen okänd, men det förändrar inte så mycket. För vissa värden på a kommer du antagligen att få division med 0 och då får man titta på de fallen separat.

En annan variant är att beräkna systemmatrisens determinant och ta det därifrån.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 14 mar 2019

Systemmatrisen:

4-a2-121-a-2-124-a

Dr. G 4305
Postad: 14 mar 2019

För vilka a är det(A) = 0?

det(A) ≠ 0 ger ... lösningar.

det(A) = 0 ger ... eller ... lösningar.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 14 mar 2019

Ingår även högerleden i systemmatrisen? Ska högerleden vara med när jag beräknar determinanten?

1-21

Dr. G 4305
Postad: 15 mar 2019

Nej. 

Man kan dock säga att HL bestämmer antalet lösningar när det(A) = 0.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 15 mar 2019

Tack!

Lisa Mårtensson 556
Postad: 17 mar 2019 Redigerad: 17 mar 2019

Lisa Mårtensson 556
Postad: 17 mar 2019

Vad gör jag härnäst? Ska jag sätta in värdena 1, 3 och 5 i ekvationssystemet och se om de stämmer?

Laguna 4691
Postad: 17 mar 2019

Sätt in dem en i taget och se vilka fall du får: oändligt många lösningar eller inga alls.

Albiki 3775
Postad: 18 mar 2019 Redigerad: 18 mar 2019

Hej!

Du vet att om a{1,3,5}a \notin\{1,3,5\} så har systemet Ax=bAx=b en unik lösning.

  • Om a=1a=1 så är systemets totalmatris A,b=32-1120-2-2-1231A,b=\begin{pmatrix}3&2&-1&1\\2&0&-2&-2\\-1&2&3&1\end{pmatrix}. Om du kan transformera detta till en matris där en rad består av 3 nollor och 1 icke-nolla så saknar systemet lösningar. Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.
  • Om a=3a=3 så är systemets totalmatris A,b=12-112-2-2-2-1211.A,b=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&-2&-2&-2\\-1&2&1&1\end{pmatrix}. Om du kan transformera detta till en matris där en rad består av 3 nollor och 1 icke-nolla så saknar systemet lösningar. Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.
  • Om a=5a=5 så är systemets totalmatris A,b=-12-112-4-2-2-12-11.A,b=\begin{pmatrix}-1&2&-1&1\\2&-4&-2&-2\\-1&2&-1&1\end{pmatrix}. Om du kan transformera detta till en matris där en rad består av 3 nollor och 1 icke-nolla så saknar systemet lösningar. Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.
Lisa Mårtensson 556
Postad: 18 mar 2019 Redigerad: 18 mar 2019

Tack Albiki!

  • Att transformera matriserna antar jag att jag gör genom Gauss Jordanelimination och genom andra tillåtna operationer?
  • På vilket sätt spelar HL in? Jag menar då det som står till höger om likhetstecknet i ekvationssystemet, 1, -2 och 1.
  • Du skriver att om a ej tillhör mängden 1, 3 eller 5 så har Ax = b en unik lösning. Skulle du kunna klargöra vad A, x respektive b motsvarar?  (Jag tror att A=systemmatrisen, x kunde vara x1, x2 och x3 och att b är HL, men jag är verkligen inte säker på det.)
  • Du skriver att om a ej tillhör mängden 1, 3 eller 5 så har systemet Ax=b en unik lösning. Därtill tillkommer ett oändligt antal lösningar eller möjligen inga lösningar alls, beroende på vad jag får fram i de då jag testar värdena 1, 3 och 5 i stället för a i matrisen enligt det du beskriver ovan. Det är här nödvändigt att jag behärskar hur jag ska transformera matriserna. Kan jag inte det så kan jag heller inte lösa uppgiften. Stämmer det?
  • Svaret borde alltså vara att det finns en entydig lösning eller att det finns ett oändligt antal lösningar. Vilket av dem båda vet jag inte ännu. Svaret kan inte vara att det finns noll lösningar eftersom vi redan har en unik lösning för det fall när a ej tillhör mängden 1, 3 eller 5. Har jag förstått rätt?
Dr. G 4305
Postad: 18 mar 2019

När a inte är 1, 3 eller 5 så är systemmatrisen A inverterbar, eftersom det(A) ≠ 0. Lösningsvektorn x ges då av

x=A-1bx = A^{-1}b

där b är din vektor i HL. För att lösa uppgiften så räcker detta, du behöver inte snygga till HL genom att beräkna inversen och utföra matrismultiplikationen. Det finns en entydig lösning, x.

När a = 1, 3 eller 5 så är det(A) = 0. A är inte inverterbar. Du får lösa ett ekvationssystem för de tre olika a-värdena och se om du får 0 eller ∞ antal lösningar för varje värde på a. 

Lisa Mårtensson 556
Postad: 23 mar 2019
Dr. G skrev:

När a inte är 1, 3 eller 5 så är systemmatrisen A inverterbar, eftersom det(A) ≠ 0. Lösningsvektorn x ges då av

x=A-1bx = A^{-1}b

där b är din vektor i HL. För att lösa uppgiften så räcker detta, du behöver inte snygga till HL genom att beräkna inversen och utföra matrismultiplikationen. Det finns en entydig lösning, x.

När a = 1, 3 eller 5 så är det(A) = 0. A är inte inverterbar. Du får lösa ett ekvationssystem för de tre olika a-värdena och se om du får 0 eller ∞ antal lösningar för varje värde på a. 

Jag måste bara fråga en extra gång. Räcker det alltså som svar för övriga reella tal a (som inte är 1, 3 eller 5) att säga att det finns en entydig lösning? 

Vilken denna entydiga lösning är, verkar ju inte behöva beräknas denna gång.

Eftersom uppgiften vara att finna antal lösningar, så borde det ju räcka med en liknande förklaring som Dr G gjort här.

Sedan förstår jag givetvis att jag måste svara vilka lösningar det blir när a är 1, 3 och 5 också.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 23 mar 2019 Redigerad: 23 mar 2019

Skulle denna Gauss-Jordan-elimination kunna vara rätt för fallet a=1?

Jag har fått en trappstegsmatris med en nedersta rad som har nollor i VL, men ett nollskilt tal i HL och därför har ekvationssystemet inga lösningar för a=1 enligt mig.

Rätta mig om jag har fel.

Dr. G 4305
Postad: 24 mar 2019

Det verkar rätt!

a = 1, saknar lösning

a = 3, ...

a = 5, ...

övriga a, entydig lösning

Två luckor att fylla i återstår.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 24 mar 2019

Albiki skriver:

”Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.”

Är det detsamma som att jag efter transformering ser att jag får en matris på trappstegsform?

Jag vet att om trappan går helt ”jämnt” hela vägen (ett steg åt höger och ett steg ner för varje steg) så har ekvationen en entydig lösning. 

De trappor jag får för oändligt antal lösningar är väl en sådan trappa som kan ha trappsteg av olika längd?

Lisa Mårtensson 556
Postad: 24 mar 2019

Lisa Mårtensson 556
Postad: 24 mar 2019

Lisa Mårtensson 556
Postad: 24 mar 2019 Redigerad: 24 mar 2019

a = 1, saknar lösning

a = 3, saknar lösning

a = 5, oändligt antal lösningar

övriga a, entydig lösning

AlvinB 2896
Postad: 24 mar 2019

Ja, du har rätt.

Det centrala är ju raden med nollor du får. Om hela raden blir nollor är det ju inget konstigt, 0x1+0x2+0x30x_1+0x_2+0x_3 borde ju vara lika med noll, men om högervektorn inte får en nolla får du ju att 0x1+0x2+0x3=10x_1+0x_2+0x_3=1 vilket saknar lösningar.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 24 mar 2019

Tack allihopa!

Lisa Mårtensson 556
Postad: 24 mar 2019

Vad menar Albiki med

”Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.”

Kolonnerna i den sista transformerade matrisen, den jag gjort för fallet a=5, ser ut så här

1-21-100100000.

Jag har tolkat denna matris som att ekvationssystemet ger oändligt antal klösningar eftersom den är på trappstegsform men inte går exakt ett steg ner ett steg till höger för varje steg, utan stegen är längre.

Nu undrar jag alltså över Dette resonemang att kolonnerna skulle vara linjärt beroende. Jag ser ju att kolonn 1 och kolonn 4 tar ut varandra: 1-1=0. Kolonn 2 och kolonn 3 tar också ut varandra då -2+1+1=0. Är det detta som åsyftas med att kolonnerna är linjärt beroende?

Svara Avbryt
Close