Använd detta för att beräkna faltningen f*g(x)

Någon?

Bump

Någon som vet hur man tacklar vidare på denna uppgift utifrån hur jag har försökt att lösa den? Jag har fortfarande inte kommit någonvart. 

Kan du se $e^{-\frac{{\omega }^2}{2}}$som Fouriertransformen av någon funktion (hint använd (v) och (ii))?

PATENTERAMERA skrev:

Kan du se $e^{-\frac{{\omega }^2}{2}}$som Fouriertransformen av någon funktion (hint använd (v) och (ii))?

Nej tyvärr. Hm jag vet inte hur v) och ii) bör användas

Vad blir $ℱ\left[e^{-{\left(ax\right)}^2}\right]\left(\omega \right)$?

PATENTERAMERA skrev:

Vad blir $ℱ\left[e^{-{\left(ax\right)}^2}\right]\left(\omega \right)$?

Vi vet e^-x^2=1/2sqrt(pi)*e^-w^2/4

Och om du också använder (ii).

PATENTERAMERA skrev:

Och om du också använder (ii).

Då blir F[f(-x)](w)=F[f](w)

Jag menar vad blir Fouriertransformen av $e^{-{\left(ax\right)}^2}$?

Tillägg: 7 jan 2026 11:22

Kombinera (v) och (ii).

PATENTERAMERA skrev:

Jag menar vad blir Fouriertransformen av $e^{-{\left(ax\right)}^2}$?

---

Tillägg: 7 jan 2026 11:22

Kombinera (v) och (ii).

Ingen aning. Det är där jag körde fast på.

Börja med att förenkla (ii) genom att sätta b = 0. Använd sedan det resultatet med (v).

PATENTERAMERA skrev:

Börja med att förenkla (ii) genom att sätta b = 0. Använd sedan det resultatet med (v).

Jag gjorde ju det i #10. Såhär får jag från ii)

Nja, jag förstår inte vad du gör.

$ℱ\left[f\left(ax\right)\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{\left|a\right|}ℱ\left[f\right]\left(\omega /a\right)$.

Utnyttja detta i kombination med (v) för att bestämma Fouriertransformen till $e^{-{\left(ax\right)}^2}$.

PATENTERAMERA skrev:

Nja, jag förstår inte vad du gör.

$ℱ\left[f\left(ax\right)\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{\left|a\right|}ℱ\left[f\right]\left(\omega /a\right)$.

Utnyttja detta i kombination med (v) för att bestämma Fouriertransformen till $e^{-{\left(ax\right)}^2}$.

Hur använder jag detta i kombination med v)? 

Tänk dig att f(x) = $e^{-x^2}$. Då blir f(ax) = $e^{-{\left(ax\right)}^2}$.

Utnyttja nu (ii) och (v).

Såhär får jag. 

Ja. Och om vi speciellt väljer a=$\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$ℱ\left[e^{-x^2/2}\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{e}^{-{\omega }^2/2}$.

Dvs

${ℱ}^{-1}\left[e^{-{\omega }^2/2}\right]\left(x\right)=\sqrt{2\mathrm{\pi }}{e}^{-x^2/2}$.

Nu kan du utnyttja detta för att räkna ut vad faltningen skall bli.

PATENTERAMERA skrev:

Ja. Och om vi speciellt väljer a=$\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$ℱ\left[e^{-x^2/2}\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{e}^{-{\omega }^2/2}$.

Dvs

${ℱ}^{-1}\left[e^{-{\omega }^2/2}\right]\left(x\right)=\sqrt{2\mathrm{\pi }}{e}^{-x^2/2}$.

Nu kan du utnyttja detta för att räkna ut vad faltningen skall bli.

Varför kan man inte välja a=1/2? Jag hänger inte med riktigt. Det här är typ vad jag får nu :

Du hade tidigare fått fram att

$ℱ\left[f⊛h\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{2}{e}^{-2}{e}^{-{\omega }^2/2}$.

Så du vill ha delat med 2.

PATENTERAMERA skrev:

Du hade tidigare fått fram att

$ℱ\left[f⊛h\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{2}{e}^{-2}{e}^{-{\omega }^2/2}$.

Så du vill ha delat med 2.

Ja i #1 fick jag det. Nu förstår jag inte vad du exakt menar med delat med 2?  Ska inte a=1/2 eller ?  Varför är mitt val av a fel enligt min lösning i #20?

Vi har ju -w²/2 i exponenten inte -w². Så det är lämpligt att välja a = 1/sqrt(2).

PATENTERAMERA skrev:

Vi har ju -w²/2 i exponenten inte -w². Så det är lämpligt att välja a = 1/sqrt(2).

Ja juste vi får då F[e^-x^2/2](sqrt(2)w)=sqrt(2)pie^-w^2/2

Läs #19.

PATENTERAMERA skrev:

Läs #19.

Det har jag gjort. Men det är väl det jag fick? F[(e^-x^2/2)](sqrt(2)w)=sqrt(2)pie^-w^2/2

Det är väl inte riktigt samma sak. Kanske skriver du bara lite slarvigt.

Men om du nu fortsätter med uppgiften, vad får du då som svar?

PATENTERAMERA skrev:

Det är väl inte riktigt samma sak. Kanske skriver du bara lite slarvigt.

Men om du nu fortsätter med uppgiften, vad får du då som svar?

Nej okej, hur ska man skriva då? Du sa att jag ska utnyttja (v) och (ii) vilket jag har gjort.

Jag kan tyvärr inte fortsätta med uppgiften ännu.  Vi behöver reda ut varför F[e^-x^2/2](sqrt(2)w)=1/sqrt(2pi)e^-w^2/2 ) är felaktig enligt dig. 

Stryk sqrt(2) nedan så tror jag det blir rätt.

PATENTERAMERA skrev:

Stryk sqrt(2) nedan så tror jag det blir rätt.

Men varför ska vi stryka den? Den följer ju med från ii)

Nja, du har bara w i VL, var får du in sqrt(2)w?

PATENTERAMERA skrev:

Nja, jag förstår inte vad du gör.

$ℱ\left[f\left(ax\right)\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{\left|a\right|}ℱ\left[f\right]\left(\omega /a\right)$.

Utnyttja detta i kombination med (v) för att bestämma Fouriertransformen till $e^{-{\left(ax\right)}^2}$.

Jag tror det är här typ. Jag jobbade vidare med HL och fick då att det är lika med 1/sqrt(2)e^-w^2/2. Men hur ska VL se ut då? Det står F[f(ax)](w)

Jo men i VL står det (w) inte (sqrt(2)w), vilket du hade.

PATENTERAMERA skrev:

Jo men i VL står det (w) inte (sqrt(2)w), vilket du hade.

Ja jag vet. Men sätter man VL lika med HL så blir det så.  Väljer man a=1/sqrt(2) så blir det sqrt(2)w på HL enligt ii). Nu svarade du inte på min fråga om vad f(ax) är på VL , men jag tror det är e^-(ax)^2 där a=1/sqrt(2)

Nja det bör vara 

$ℱ\left[e^{-{\left(ax\right)}^2}\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{\left|a\right|}ℱ\left[e^{-x^2}\right]\left(\omega /a\right)$.

PATENTERAMERA skrev:

Nja det bör vara 

$ℱ\left[e^{-{\left(ax\right)}^2}\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{\left|a\right|}ℱ\left[e^{-x^2}\right]\left(\omega /a\right)$.

Varför skriver du F[e^-x^2] och inte F[e^-(ax)^2] på HL? Det ser inte begripligt ut för mig i alla fall. Jag vet inte vad den där f på HL står för i ii) , jag trodde det var samma f som den i VL dvs e^-(ax)^2.

Därför att det är det är det som formeln i (ii) säger att vi skall göra.

Vi vill beräkna transformen till $e^{-{\left(ax\right)}^2}$,  det kan vi göra genom att beräkna transformen till $e^{-x^2}$ (som vi känner till), utvärdera den i w/a istället för w och dela med beloppet av a.

PATENTERAMERA skrev:

Därför att det är det är det som formeln i (ii) säger att vi skall göra.

Vi vill beräkna transformen till $e^{-{\left(ax\right)}^2}$,  det kan vi göra genom att beräkna transformen till $e^{-x^2}$ (som vi känner till), utvärdera den i w/a istället för w och dela med beloppet av a.

Så iden är att använda sig av en transform man känner till på HL som tex e^-x^2? Det är alltså vad den där f är på HL?  Jag antar att det var det du menade med att jämföra funktionen f  med (v).  Men här har vi valt vad a är för något, vilket är a=1/sqrt(2)?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Ok nu vet vi vad F[e^-x^2/2] är men inte F[e^-w^2/2]

Du vet dock vad inverstransformen blir. Det är det som du kan använda. Se #19.

PATENTERAMERA skrev:

Du vet dock vad inverstransformen blir. Det är det som du kan använda. Se #19.

Ja precis. Men hur gör man med e^-2 och eiwx i #1 om man bara inverstransformerat e^-w^2/2?

Vi vet att

$$\begin{gathered} ℱ\left[f⊛g\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{2}{e}^{-2}{e}^{-{\omega }^2/2}\Rightarrow \\ \left(f⊛g\right)\left(x\right)={ℱ}^{-1}\left[\frac{1}{2}{e}^{-2}{e}^{-{\omega }^2/2}\right]\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{-2}{ℱ}^{-1}\left[e^{-{\omega }^2/2}\right]\left(x\right) \end{gathered}$$

PATENTERAMERA skrev:

Vi vet att

$$\begin{gathered} ℱ\left[f⊛g\right]\left(\omega \right)=\frac{1}{2}{e}^{-2}{e}^{-{\omega }^2/2}\Rightarrow \\ \left(f⊛g\right)\left(x\right)={ℱ}^{-1}\left[\frac{1}{2}{e}^{-2}{e}^{-{\omega }^2/2}\right]\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{-2}{ℱ}^{-1}\left[e^{-{\omega }^2/2}\right]\left(x\right) \end{gathered}$$

Du har glömt e^iwx termen från integralen i #1. Sen hänger jag inte med på din omskrivning av inversen och fouriertransformen. Det är ju inte så jag gjort i #1

Nej, du har ju redan räknat ut vad Fouriertransformen av faltningen skall bli i #1.

Sedan behöver du bara inverstransformera för att få ut vad faltningen blir.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, du har ju redan räknat ut vad Fouriertransformen av faltningen skall bli i #1.

Sedan behöver du bara inverstransformera för att få ut vad faltningen blir.

Juste. Så inverstransformen av Fouriertransformen av faltningen är just f*g(x) vilket är precis det du har fått fram i #43?

Ja, och sedan hade vi tagit fram tidigare vad inverstransformen av $e^{-{\omega }^2/2}$ blir.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, och sedan hade vi tagit fram tidigare vad inverstransformen av $e^{-{\omega }^2/2}$ blir.

Ja precis.